-
![]()
240
CTT S
基本 例題 154 三角形の成立条件, 鈍角三角形となるための条件
AB=2, BC=x, CA=3である△ABC がある。
(1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) △ABC が鈍角三角形であるとき, xの値の範囲を求めよ。
P.230 基本事項 3, [4]
tokie
指針 (1) 三角形の成立条件 [6-c| <a<b+c を利用する。
ここでは、3-21<x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。
(2) 純角三角形において, 最大の角以外の角はすべて鋭角であるから、最大の角が
なる場合を考えればよい (三角形の辺と角の大小関係より, 最大の辺を考えることに
る)。そこで、最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
例えば CA(=3) が最大辺とすると,
∠Bが鈍角⇔ cos B <0⇔
21 90%4+
-<0⇒ c²+a²-b² <0
ER
「となり! bc+α² が導かれる。 これにb= 3,c=2, α=x を代入して,xの2次不等
2703
が得られる。
c²+a²-b²
2ca
解答
(1) 条件から
3-2<x<3+2
よって
1<x<5
TV: TV-Onie: 8
(2) [1] 1<x<3のとき, 最大辺の長さは3であるから, その
対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
32>22+x2
すなわち
x-5<0
よって
ゆえに
(x+√5)(x-√√5) <0_____*
-√5<x<√5 ELS
1<x<3との共通範囲は
1<x<√5
[2] 3≦x<5のとき, 最大辺の長さはxであるから, その対
角が 90°より大きいとき鈍角三角形になる。
レー
ゆえに
x2>22+32
(
すなわち
x²-13>0
よって
ゆえに
3≦x<5との共通範囲は
[1], [2] を合わせて
(x+√13)(x-√13) > 0
x<-√13, √13<x-1-(5)-1
√13 <x<5
1<x<√5,√13 <x<5
[参考] 鋭角三角形である条件を求める際にも,最大の角に着目し,
最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
練習
154 (1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
AB=x, BC=x-3,CA=x+3である△ABCがある。
(2) △ABCが鋭角三角形であるとき、xの値の範囲
|x-3|<2<x+3または
|2x | <3 <2+xを解いて
x の値の範囲を求めても
いが、面倒。
[1]
LIRICA
*C
B>90°⇔ AC2>AB²+BC
[2]
B
2
A
3
B
A>90° BC²>AB²+AC
191 547 A
重要 例題 15
x>1 とする。 三
き、この三角形の
指針 三角形の最大
このとき x
例えば,x=
x2+x+1が
なお, x2-1
三角形の成
EBI
mok+1
CHART 文
解答
x>1 のとき
よって, 3辺の長
存在するための
整理すると
したがって, x
また, 長さがx
辺に対する角が
この角を0とす
(x²
COS A=
ⅡI
2
||
41
したがって
三角
③155 (1)
