xについての2次方程式 x2 (α-1)x+a+6=0 が次のような解をもつよ
な実数αの値の範囲をそれぞれ求めよ。
(1) 2つの解がともに2以上である。
(2)1つの解は2より大きく、他の解は2より小さい。
.76 基本事項 5
基本
CHART & SOLUTION
実数解 α, β と実数の大小
a-k, β-kの符号から考える
(1) 2以上とは2を含むから,等号が入ることに注意する。
a≧2,B≧2⇔ (a-2)+(β-2)≧0, (α-2) (B-2)0
(2) α <2<β または β<2<α⇔ (α-2)(β-2)<0
解答
「と」
x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα,βとし, 判別式を
Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6α-23
解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6
(1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の① ② ③ が同
時に成り立つことである。
D≧0
(a-2)+(β-2)≧ 0
Linf.
2次関数
C
f(x)=x2-(a-1)x+a
このグラフを利用すると
(1) D≧0,
(軸の位置) ≧2,
f(2)≥0
a-1
2
①
(a-2)(B-2)≥O
****..
③
①から
a2-6a-23≧0
I>n>E
ゆえに
a≦3-4√2,3+4√2 ≦a
④
②から
a+β-4≧0 ゆえに
(a-1)-4≥0
よって
a≥5
⑤
③から
aβ-2(a+β)+4 ≧ 0
見ない。
ゆえに(笑)α+6-2 (α-1)+4≧0(よってa≦12
...(6)
④ ⑤ ⑥の共通範囲を求めて
[1] [2] 3+4√2 ≦a≦12
(2) α<2<Bまたは<2<αであるための条
を満たす
Ef(2)
a
(2) f(2)<0
(p.765 補足 参照
3-4/2
5 3+4/2
④件は
#1 (a-2)(B-2)<0
このとき,D>
よってα+6-2(4-1)+4<0
これを解いて α>12
立っている。
(6.75
