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演習 例題129/2つの2次関数の大小関係 (1)
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2つの2次関数f(x)=x2+2ax+25, g(x)=-x2+4ax-25 がある。 次の条件が
成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
(1) すべての実数xに対してf(x)> g(x) が成り立つ。
(2) ある実数xに対してf(x)<g(x) が成り立つ。
指針▷y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考えるのでは
なく, F(x)=f(x) - g(x) とし, f(x), g(x) の条件
をF(x) の条件におき換えて考える (p.198 参照)。
(1) すべての実数xに対して F(x) > 0
(2) ある実数xに対して F(x)<0
となるαの値の範囲を求める。
解答
F(x)=f(x)-g(x) とすると
F(x)=2x²-2ax+50
[(1) 広島修道大] p.198 基本事項 [2] 基本113
ゆえに
よって
(1),
= 2(x - 2)² +50
(1) すべての実数x に対して f(x) > g(x) が成り立つことは,
すべての実数x に対してF(x) > 0, すなわち
[F(x) の最小値] > 0 が成り立つことと同じである。
F(x) は x=
x=1で最小値-1 +50 をとるから
(a+10)(a-10)>0
a<-10,10<α
(2)
y=F(x)
y=F(x)
WW
0
+
- +50>0
よって
(a+10) (a-10) < 0
ゆえに
-10<a<10
(2) ある実数xに対して f(x)<g(x) が成り立つことは,
ある実数x に対してF(x)<0, すなわち [F'(x) の最小値] < 0
が成り立つことと同じである。
よって一 +50<0
検討
1. 「あるxについて●が成
り立つ」とは, を満たすx
が少なくとも1つある,とい
うことである。
2.2 次方程式 F(x)=0 の判
別式をDとすると,
2²=(₁
=(-α)²-2・50=α²-100
(1) [F(x) の最小値] > 0
の代わりに D<0
(p.171 基本事項 6 利用。
常にF(x)>0D<0)
(2) [F(x) の最小値] < 0
の代わりに D>0
(p.161 基本事項 ② 利用。
y=F(x)のグラフの頂点
がx軸より下にある。)
によって解くこともできる。
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3章
2次関数の関連発展問題
