ウはどうして「実数の重解をもつ」になるのですか？ (1枚目が問題で、2枚目以降は解説です)

aを実数とし, 二つの関数 f(x)= x?, g(x)= -2x°+2ax-3a を考える。ま た,放物線 y== f(x), y=g(x) をそれぞれC, Dとする。 (1) 放物線CとDの両方に接する直線を考えよう。 f(x)の導関数は f'(x)=| ア x であるから, 放物線C上の点(p, f(p)) におけるCの接線lの方程式は ソ= ア px である。h(x)= px- p1」とし, 直線《が放物線Dにも接するとする。 ア このとき, xの2次方程式 g(x)3D h(x) は ウ。したがって, 2次方程式 h(x)-g(x)=0 の判別式を考えて 2 オap+ a°- カ キ |0 エ a が成り立つ。 の 器 ウ の解答群 Cog. 0 異なる二つの実数解をもつ 0 実数の重解をもつ の 実数解をもたない キ の解答群 O 0 の 三

解説を読んでも分からないので、コまで教えて頂けませんか！🙇‍♀️🥲

(1) 座標平面上で, 次の二つの2次関数のグラフについて考える。 の y=3x'+2x+3 2 y=2x? + 2x +3 1, 2の2次関数のグラフには次の共通点がある。 T代入! である。 共通点 *y軸との交点のy座標は ア イ x+ ウ であ *y軸との交点における接線の方程式はッ= ン る。 Da(hr1)1%3D(& +)1 ()ハ= (&-) 次のO~6の2次関数のグラフのうち、y軸との交点における接線の方程式 がy= イ x+ ウ となるものは である。 エ り返しんでもよい) 多 いい ) エ の解答群 の O y=3x? -2x-3 0y=-3x?+2x-3 y=2x? + 2x -3 @ y=-x? +2x+3 y=2x? - 2x+3 y== x?-2x+3 a, b, cを0でない実数とする。 曲線y= ax? + bx + c上の点0, オ その方程式はy における接線を!とすると 三 カ x+ キ である。 3 O

これはどうやって解きますか？？

(1) 座標平面上で,次の二つの2次関数のグラフについて考える。 T 相加 0) y= 3x? +2x+3 y=2x° + 2x+3 2 こさる で立 ct 0, 2の2次関数のグラフには次の共通点がある。 共通点 を代入 20立つ。 *y軸との交点のy座標は ア である。 * y軸との交点における接線の方程式はッ=「 であ イ x+ ウ る。 ()3 (8+ヵ)1

解説部分の［2］の下線部について教えてください。

要例題9/ 2つの円の共通接線 149 円x+y= を求めよ。 0 と円(x-4)+y°=4 ② に共通な接線の方程式 基本 93 CHARTO OLUTION 円の接線 中心と接線の距離 d3円の半径r…… 求める直線をy=mx+n とおいて, 2つの円に接する条件を考える。 接点→ 重解 よりも d=r の方がスムーズ。 inf. 円O上の点における接線が円② とも接するから, 円(②の中心と,この接 線の距離が円のの半径に等しいとして解く方法もある。 (解答編p.117 PRACTICE 97別解 参照) 3章 解答 2つの円0, の に共通な接線はx軸に垂直ではないから, 接線 の方程式を y==mx+n すなわち mx-y+n=0 12 3と する。 直線3が円のと接するとき, 円①の半径は1であるから |m-0-0+n| Vm+(-1) |n|=/m°+1 -=1 O (2 16 よって 直線3が円2と接するとき, 円②の半径は2であるから |m-4-0+nl_2, Vm+(-1)? 14m+nl=2/m°+1 0, Sから |4m+nl=2|n| 18 よって ゆえに 4m+n=±2n A=|B| ←→ A=±B よって 4m=n または 4m=-3n [1] 4m=n のとき 1 m=± V15° 4 (複号同順) V15 のから →14m|=/m?+1 から 両辺を2乗して n=±- 12] 4m=-3n_のとき 23 3 16m=m°+1 -土デ: n=チテ(複号同順) 4 n=モー よって m°= 15 *Ar よって,求める接線の方程式は *求める接線はイ本ある。 y=±(x+4), y=± V15 PRACTICE …97° 円(x-5)?+y°=1 と 円 x+y°=4 について (1) 2つの円に共通な接線は全部で何本あるか。 (2) 2つの円に共通な接線の方程式をすべて求めよ。 |円,円と直線,2つの円一

なぜPQがＸ軸と並行なのかがわからないので教えて欲しいです。

(3] 太郎さんと花子さんは、数学の授業中に先生え ついて話し合っている。二人の会話を読んで,下の問いに答えよ。 花子:放物線は,軸に平行な光や電波を反射させて,軸上 の1箇所に集める性質があるって教わったね。 太郎:そうそう, 衛星放送用のアンテナは,断面が放物線 になっているんだってね。 中学校の理科で, 光が反 射するときには入射角と反射角が等しくなるって 習ったけど,放物線で反射するときは,どう考えた らいいんだろう? アマナイメージズ 反射角入射角 花子:その場合は, 光が当たる点における接線を反射面と 考えればいいみたいだよ。でも, 1箇所に集めるっ 反射面 て,具体的には放物線のどこに集まるんだろう ? 太郎:次の図のように, y軸に平行な光が放物線上の点Pで反射して,軸上の点 7 ol ュン--。 Qに到達するとしよう。例えばy=x° のグラフで考えてみようか。はじ 220 めは、点Pにおける接線の傾きが1の場合を考える。と,接線とx軸の正の 向きとのなす角が45°だから, 考えやすいと思うよ。 J 2421 花子:接線の傾きが1のとき, 接点Pの座標は ソ チ だから,入射角と反射角 タ ツ が等しいことを考えると,点Qの Q テ だね。 ト 0 R y座標は 他の点,例えばP(1, 1) で反射したときも, R, Sは,点Pにおける 放物線の接線と, x軸, y軸との交点 放物線で反射して点Qに集まるのかな?どう 考えれば,それが確かめられると思う? 太郎:点P(1, 1)における接線の方程式は y= ナ だけど,この x 直線とx軸のなす角は求められないね。 2 …でも,入射光がy軸と平行で, かつ入射角と反射角が等しいということ ば,図においてPQ=| ヌ ……Dが成り立つよ! (半し

なぜ重解になるのですか？

曲線 y=x-2x 上の点P(a, a'-2a) (aキ1) における法線の方程式を求めよ. また, こ (a したがって、線の =(-2a-4)ォーa(-2a-4)+(-aー アー(-2a-0rta"+2 ……の ここでのが(ー1, 9) を通るので、 また。 x=-1, y=9 を①に代入す x-2x= 2aー る。 1 x 2 2a-2 (a+3)(a-1)=0 a=ー3, 1 よって、求める接線の方程式は, Dより、 『=2r+11, J=ー6r+3 a=-3, 1 を①にそれぞれ代 入する。 接点の座標はそれぞれ (ーの+(a-2+2 a+2a-3=0 2aー これより, x=a, -a+2- )曲線 y=+1 について, 直線y=3x に平行な接線 (2) 曲線 y=ーズ+4 上の点(2, 一4) を通る接線 点Qの×座標は, xキa より, このとき,Dより, 199 次の接線の方程式を求めよ。 1 2a-2 a-2 2a-2 ソ= ーa+2 (1) /(x)=x+1 とおくと, S(x)=3r° 曲線 y=x+1 上の点(t, ポ+1)における接線の方程 式は,yー(+1)=3f°(x-t) より, y=3r-2t+1 0 接線のは直線 y=3x に平行であるから, =1 より、 よって,求める接線の方程式は, y=3r-1, y=3r+3 (2) f(x)=-x+4 とおくと、 曲線 y=ーx+4 上の点(t, -ド+4)における接線 の方程式は,yー(-ポ+4)=D-3t°(x-t)より, y=-3°r+2t°+4 …① 接線Dが点(2, -4) を通るから, ①に代入すると, -4=-3-2+2t+4 2-6°+8=0 ポ-3+4=0 (t-2)(t+1)=0 t=2, -1 よって,求める接線の方程式は, y=-12.x+20, 3y=-3x+2 2a 1 +α (2a-2) (t)=3° 1 =a-2a+1+ (2a-2) よって,点Qの座標は, 3t°=3 ( 1 a-2a t=±1 ーa+2 2a-2 (tの値を①に代入する。 201 2つの放物線 yーズ と y= (1) 放物線 y=x 上のx座 また, 放物線 y--(x- の接線の方程式を求めよ。 (2) 両方の放物線に接する直編 f(x)=-3x° F(t)=-3 (1) f(x)=Dx° とおくと, だから, y=x" 上の点 (a, α', は,傾き f'(a)=2a より, ソーa=2a(x-a) よって, 9(x)=-(x-3)"+4=-x"+6a g'(x)=-2x+6 だから,y=ー(x-3) +4 上の点 おける接線の方程式は、 傾き g(b 点(2, -4)は曲線上の点 S(x 点(2, -4)で接する場合 t=2 が重解になる。 y=2ax-a tの値を①に代入する。 200 の法線と曲線の交古のit直n ソー(ーが+66-5)-(-26+t よって、 2) 0umr るので、係数を比て ビ=(-26+6)x+がーミ

楕円です。 (3)の解1の初めからわかりません。 何をしているのでしょうか？ 解説お願いします。

第1章一 エいL 8 第1章 曲 9 基礎問 2だ円(II) 2(k-2) k+2 8 k+2 (3)(解I)(演習問題1の感覚で…) メ 2?+4y.?=4 0 だ円+ザー1のz>0, y>0 の部分を Cで表す。 曲線C上に占 より, l01+2y1=k P(z, 4)をとり,点Pでの接線と2直線 y=1, および,z=2 との交占 をそれぞれ,Q, Rとする.点(2, 1) をAとし,△AQR の面積をSと く.このとき,次の問いに答えよ。 (1) +2y=k とおくとき, 積C1nをんを用いて表せ、 (2) Sをんを用いて表せ、 (3) 点PがC上を動くとき, Sの最大値を求めよ。 1を消去して ?+(k-z)?=4 = 2.z?-2ki+k-4=0 判別式20 だから, -2(k?-4)20 → k-8<0 : -2/2sks2、/2 また,右図より1<号 . 2<k 2 (1) 点Pはだ円上にあるので, z?+4//°=4 (z>0, /ュ>0) をみた しています。 (2) AAQR は直角三角形です。 精講 よって, 2<k<2/2 をが最大のときSは最大だから, Sの最大値は 6-4/2 |=2cos0 (解I) +=1より とおける。 (3) kのとりうる値の範囲の求め方がポイントになります. 解答は2つありま すが,1つは演習問題1がヒントになっています。 ュ=sin0 k=n+2ys=2(sin0+cosθ)=2/2 sin(0+) 解答 く0+号くだから、<sin(0+)<1 ?+4y,?=4 三(z+2y)?-4.z/=4 C=2 4 4 4 -4 . I1= . 2<k<2/2 をが最大のときSは最大だから, Sの最大値は 6-4/2 Q |y=1 4 P R (2) P(z, n)における接線の方程式は Iエ+4yy=4 0 のポイント だ円 a? =1 上の点は 6° (4-4y Q (-2,1, R(2, 4-2z =acos0, y=bsin0 とおける I1 4y1 よって, AQ=2- 4-4y1_2.c+4y.-4 演習問題2 1 C1 だ円 +=1 と直線 y=ー→ェ+k(k: 定数)は, 異なる2 I1 2 AR=1- 4-22」 Ii+2y1-2 291 S=-AQ-AR=(+2ハー2)_2(k-2) 2.c+4y-4 4y」 4y1 点P, Qで交わっている.このとき,次の問いに答えよ。 (1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ。 2191 (2) 線分 PQの中点Mの軌跡の方程式を求めよ。 k-4

▹▸よって直線②が直線x＋y＝1に平行であるとき、y₁≠0で…… の所の③が分かる意味がわかりません… 教えて下さいm(_ _)m

189 接点の座標を (x1, y) とする。 8) 点(x1, y)は円 x+y%=D50 上にあるから x,?+y?=50 接点(x1, y)における接線の方程式は の X;*+ y1y=50 2 (1) yュ=0のとき, 接線 ② は直線x+y=1に平行 ではない。 よって、接線2が直線x+y=1に平行である とき,ハキ0で エ=-1、 V1 Sよって6-x」=1 の, 3 から y」を消去して整理するとx,?=25 これを解くと X1=-5, 5 X1=-5のときハ=-5, ③ に代入して X1=5のとき 1=5 よって, 接線の方程式② と接点の座標は, 次の ようになる。 接線 x+y=-10, 接点(-5, -5) 接線 x+ y=10,接点 (5, 5)

(2)なのですが、 解説を見てもいまいち分かりません。 マーカー部分について教えてくださいませんか🙇‍♀️🙇‍♀️

例題0: 双曲線上の点と直線の距離の最大最小 双曲線x-4y=4上の点(a, b)における接線の傾きが mのとき,次の問いに 答えよ。ただし,bキ0 とする。19T=9T (1)、 b, mの間の関係式を求めよ。 のを50< 0< この双曲線上の点と直線 y=2x の間の距離をdとする。dの最小値を求め よ。また,dの最小値を与える曲線上の点の座標を求めよ。 【神奈川大) 本 S を通る と考 ー守の P.112基本事項 1

（４）の接点の出し方が分かりません。yです。 教えてください🙇‍♀️ ちなみに、(3)の接点の出し方は ''微分した式の因数分解によって出す '' で合っていますか？

501(接線の方程式》次の曲線について,曲線上のx座標が1の点における接 めれば氷 線の方程式を求めよ。 803 *(2) y=x?-3x+2 4)) y=-x°+x+2 (1) y=x°-x (3)y=x°-3x?