Question

‪ᯅ̈

ウはどうして「実数の重解をもつ」になるのですか？
(1枚目が問題で、2枚目以降は解説です)

aを実数とし, 二つの関数 f(x)= x?, g(x)= -2x°+2ax-3a を考える。ま
た,放物線 y== f(x), y=g(x) をそれぞれC, Dとする。
(1) 放物線CとDの両方に接する直線を考えよう。
f(x)の導関数は f'(x)=| ア
x であるから, 放物線C上の点(p, f(p))
におけるCの接線lの方程式は
ソ=
ア
px
である。h(x)=
px- p1」とし, 直線《が放物線Dにも接するとする。
ア
このとき, xの2次方程式 g(x)3D h(x) は
ウ。したがって, 2次方程式
h(x)-g(x)=0 の判別式を考えて
2
オap+ a°-
カ
キ
|0
エ
a
が成り立つ。
の 器
ウ
の解答群
Cog.
0
異なる二つの実数解をもつ
0 実数の重解をもつ
の
実数解をもたない
キ
の解答群
O
0
の
三

接線の方程式
(1) f(x) =|
2x であるから,放物線C上の点(p, f(p)) に
曲線 C:y=f(x)上の点
おけるCの接線lの方程式は
(t, f(t)) におけるCの接線の方程
4g
ソ=2p(x-p)+が
式は
ソ=f(t)(x-t)+f(t).

すなわち
の。
2
et
y=2px-p
lonil+I
である。
h(x)=2px-p。とすると, 直線しが放物線Dにも接するとき,
2次方程式 g(x) =Dh(x) すなわち
-2x°+ 2ax-3a=D2px-が
S
は実数の重解をもつ、
0
さ
この方程式は
0-6+
2x°+2(p-a)xーが+3a=0
3
「と変形されるので, 求める条件は
の
h(x)-9(x) =0.
判別式
ascas (p-a)?-2(-が+3a)=D0 ょうに
2次方程式
|-=(x) ax°+ bx+c=0
(a, b, cは実数, aキ0)
において, D=6-4ac をこの方程
式の判別式という。
すなわち
3
2
ap+a°
2
6
a=0
である。
キ
は
0」
例えば,a=3 のとき, ① は
|D>0→(*)は異なる二つの実数解をもつ,
3が-6か-9=0
D=0 →(*)は実数の重解をもつ,
あり、確率変
|D<0 → (*)は実数解をもたない。
2次方程式が ax" + 2b'x+c=0
すなわち
(p+1)(p-3)=0
(-)を
の形のときは,b2-ac
となるので,p= -1, 3 である。
C:y=x
用いてもよい。

Answer 1

aporon

放物線と直線の関係ですね
数学Iの教科書を確認しましょう

‪ᯅ̈

ありがとうございます