OO000
重要 例題170 曲面上の最短距離
右の図の直円錐で, Hは円の中心。線分 AB は直径、
OH は円に垂直で, OA=a, sin0=
っとする。
3
P
a
点Pが母線OB上にあり, PB= とするとき,
A
h
H
'B
点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短経
路の長さを求めよ。
基本149
指針>直円錐の側面は曲面であるから, そのままでは最短経路は考えにくい。そこで,曲面を
げる,つまり 展開図 で考える。 →側面の展開図は扇形となる。
なお,平面上の2点間を結ぶ最短の経路は, 2点を結ぶ線分 である。
重要例産 166
解答
AB=2r とすると, △OAHで, AH=r, ZOHA=90°,内 AA
1_3
1
3
r
sin0=
っであるから
a
の頂/
B
側面を直線 OA で切り開いた展開図
は,図のような,中心 0, 半径
OA=aの扇形である。
中心角をxとすると,図の弧 ABA'
の長さについて
|7CD
B
a
P 3kで
M
の.
3
A
A
A(A) A
0
AMA ,38%3MS流中
2元a
x
=2πr
360°
MM1TA
(弧ABA’の長さは,!
円3ぶを 円Hの円周に等しい
1
=120°MEビーME
3
1
x=360°…-=360°
r
であるから
3
a
a
7ここで, 求める最短経路の長さは,図の線分 APの長さである| 2点S, Tを結ぶ最短
は,2点を結ぶ線分S
から,△OAPにおいて, 余弦定理により,
AP=OA?+OP-20A·OP cos 60°
1_7
0円料 MM
13
2。
a-2a
a
2
=a°+
3
ミ
3
2
9
S
7。
AP>0であるから, 求める最短経路の長さは
a
3
ニー ー
