基礎問
△
59 平面幾何 (ⅡI)
△ABCの辺AB, ACの中点をそれぞれ D, E とし, BE, CD
の交点をGとする.4点D, B,C,Eが同一円周上にあるとき
次のことを証明せよ.
(1) AB=AC
(2) 2∠ABG=∠BAE のとき,
∠BAG = ∠ABG
V (3) (2)のとき, △ABCは正三角形.
精講
B
D
(1) 円周角の性質から等しい角が何組かありそうです.また,中点
連結定理より, BC // DE だから,等しい角が何組かありそうです
(錯角,同位角). だから, 直接のねらいは AB=AC ではなく
G
∠ABC=∠ACB になりそうです. つまり,結論が長さであっても,角に注目
する, ということです.
(2) (1)より, △ABC は AB = AC をみたす二等辺三角形です。
また,Gは△ABCの重心 (51) だから,直線AGは辺BCの垂直2等分
線. よって, ∠BAG =∠CAG です.
(3)(1)より,△ABC はすでに二等辺三角形であることが確定しているので
あと何がいえればよいか考えます. たとえば,
① <BAC=∠ABC ( ∠BAC=∠ACB) (2) AB=BC (AC=BC)
解答
(1) ∠DBE=α, ∠EBC =β とおくと,
∠DBC=α+β
また,円周角の性質より,
<DCE=∠DBE=α, ∠EDC=∠EBC=β
次に,中点連結定理より DE // BC だから,
∠EDC=∠DCB=β ( 錯角)
∠ECB=∠DCE + ∠DCB = α+ β
よって,∠DBC=∠ ECB, すなわち, ∠ABC=∠ACB
wa
B
B
E
B
E
