146
00000
基本例題 85 2次関数の係数決定[最大値・最小値] (1)
| (1) 関数y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように,定数kの値
を定めよ。 また, このとき最小値を求めよ。
| (2) 関数y=x²-2ax+a²-2a (0≦x≦2) の最小値が11 になるような止の定数
a の値を求めよ。
指針 関数を基本形y=a(x-p+gに直し,グラフをもとに最大値や最小値を求め
(1) (最大値)=4 (2) (最小値)=11 とおいた方程式を解く。
(2) では,軸x=a(a>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
CHART 2次関数の最大･最小 グラフの頂点と端をチェック
解答
(1)y=-2x2+8x+kを変形すると
y=-2(x-2)^+k+8
よって, 1≦x≦4 においては,
右の図から, x=2で最大値k+8
をとる。
ゆえに
k+8=4
よって
k=-4
このとき, x=4で最小値-4 をとる。
(2) y=x2-2ax+α²-2a を変形すると
y=(x-a)²-2a
[1]0<a≦2のとき, x=α で
最小値-2αをとる。
2α=11 とすると α=-
合はこれは0<a≦2 を満たさない。
[2] 2 <a のとき, x=2で
最小値 22-2α・2+α²-2a,
つまり²-6a+4をとる。
α²-6a+4=11とすると
a²-6a-7=0
1
11
2
これを解くと
2 <a を満たすものは
以上から、求めるαの値は α=7
a=-1₁ 7
a=7
yA
k+8 --A
1₁
012
最大
[1] YA 軸
0
[2] Y
面 ･最小
02
-2a
a
2
4
2 最小
+48
最小
a²-6a+4 i
2 x
軸
1
a 1
x
18
x
・基本 80, 82 重要 86\
<
18-²2}=
区間の中央の値は
あるから、軸x=2は区
間 1≦x≦4で中央より
左にある。
■最大値を=4 とおいて,
んの方程式を解く。
■ 「αは正」に注意。
0<a≦2のとき,
軸x=αは区間の内。
頂点x=αで最小。
の確認を忘れずに。
2<αのとき,
軸
は区間の右外。
→区間の右端 x=2で最
SIAHN
(a+1)(a-7)=0
IN BIO
140
の確認を忘れずに。
