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令和4年度 数学Ⅰ
このパフォーマンス課題は以下のルーブリックに従って評価します。
①~③は問題番号に対応しています。
A
B
0
3つの条件をして解き
の値の範囲を求めることが
できた。
3つの条件を立式することが
(2)
整数kを代入した2次方程式 必要な条件を立式して解き、
解き
根拠とともに正しく結論を
解が4より大きいことを示導くことができた。
すことができた。
整数kを代入した2次方程式 必要な条件を立式すること
を解くことができた。
ができた。
できた。
3つの条件を立式しようとし 整数を代入した2次方程式 必要な条件を立式しようと
を解こうとした。
した。
A: 2次方程式を解きすぎて極めてしまったなあ。
B : それじゃあ2次方程式の解を一緒に配置してみようよ。
A:へえ, 面白そう!!!! どうやるの?
B : 例えば、次のような問題を考えたよね。 (教科書p116類題)
②次方程式x2mx+m+6=0が0より大きい異なる2つの解をもつような
定数の値の範囲を求めよ。
(解説)
f(x)=x²-2x+m+6とすると
2次方程式f(x)=0が0より大きい異なる2つの解をもつ
ための条件は,放物線y=f(x)がx軸の正の部分と,
異なる2点で交わることである。
これは,次の [1]~[3] が同時に成り立つことと同値で
ある。
f(x)=(x-m)²-m²+m+6
[1] x軸と異なる2点で交わる
[2] 軸がx>0 の部分にある
[3] y軸 (直線x=0) との交点のy座標が正
すなわち
[1] f(x)=0 の判別式をDとすると
D -=(-m)²-(m+6)=m²-m-6>0
m+6
712
-6
x=m
これを解いて <-2,3<m ...... ①
[2] 放物線y=f(x) の軸は直線x=mで,
この軸について m > 0
...... ②
[3] f(0) > 0 から m+6>0
よって m> -6
③
①, ②, ③ の共通範囲を求めて m>3
A: そういえばこんな問題あったね。
B : この考えを活用して、 次の問題を考えてみよう。
A:さっきの[1]~[3] の条件はどう変わるかな?
11 2次方程式x^2kx+5k+6=0…☆ が4より大きい異なる2つの解をもつような
定数kの値の範囲を求めよ。
-20
3
V
[A[2]と[3]が少し難しかったけれど,何とかの値の範囲を求めることができたよ。
B: さすがだね。 でも, 本当にkの値がこの範囲にあるとき 2次方程式☆は
4より大きい異なる2つの解を持つのかな?
A : 実験してみよう!
B: 唐突だけれど, √2 = 1.4142･･･ だから, V2 < 1.5 だよね。
2上で求めたの値の範囲を満たす整数kを, 2次方程式に代入して解け。
また, その解が4より大きいことを示せ。
m
A : √ が出てきて少し困ったけど、確かに2つの解は4より大きいね。
B : 本当だったね。 同様に考えれば, あらゆる数について,
より大きい異なる2つの解をもつような定数kの値の範囲を求められるのかな?
A 6で実験してみよう!
3 2次方程式x2-2kx+5k+6=0…..☆ が6より大きい異なる2つの解をもつ場合はあるか。
| ある場合もない場合も理由を述べよ。
AB: へえ,こうなるんだ!
