544
基本 例題 107 数列の和と一般項,部分数列
0000
初項から第n項までの和 SnがSn=2n-nとなる数列{an}について
(2) 和 a1+a3+as+....+azn-1 を求めよ。
(1)一般項 an を求めよ。
538 基本事項 4
基本
n≧2のとき
指針▷ (1) 初項から第n項までの和 Sn と一般項 α の関係は
....+an-1+an
Sm=artazt..
.....+an-1
- Sn-1=artaz+..
an
ゆえに
Sn-Sn-1=
an=Sh
n=1のとき
a1=S1
解答
数列の和 Sn がnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項
まず一般項(第ん項) をんの式で表す
第ん項
る。
(2) 数列の和→
第1項,第2項,第3項,
a1,
a3,
a5,
a2k-1
であるから,an に n=2k-1を代入して第ん項の式を求める。
なお,数列 a1, A3, 45, … 2-1 のように,数列{az}からいくつかの項を
できる数列を, {a}の部分数列という。
(1) ≧2のとき
121112
an=S-S-1= (2n²-n){2(n-1)-(n-1)}
=4n-3
①
また
a=S=2.12-1=1
ここで, ① において n=1 とすると
α=4・1-3=1
よって, n=1のときにも①は成り立つ。
したがって an=4n-3
(2) (1)より, a2k」=4(2k-1)-3=8k-7であるから
-242-1=2(8k-7)
a+α+α+....+α2n-1=2a2k-1=2(8k-7)
k=1
k=1
=8/12n(n+1)-7n=n(4n-3)
Sn=2n²-n
Sn-1-2(n-1)
特別
ann≧1
される。
a2k-1 はan=
てぃに2k
12k, 21の
