放物線 y=x° と直線 y=15x で囲まれる領域内(境界線を含む)にある 格子
格子点の個数
OO00
発展例題 96
点(x 座標もy座標も整数であるような点)を考える。
(1) x座標が3である格子点の個数を求めよ。
(2) この領域内にある格子点の個数を求めよ。
(類帝塚山大
CHARI
Q GUIDE)
領域内の格子点の個数
線分上の格子点の個数を求めてこの公式を利用
まず, 領域を図示して考える。 直線x=k 上の格子点の個数をkの式で表す。
(1) 直線 x=3 上の格子点の座標を(3, y) とすると 3°<y<15·3
(2) 直線 x=k 上の格子点の座標を(k, y) とすると ピsy<15·k
なお,●SySAのとき, 格子点の個数は ▲-●+1 (個)
kが k=0 から k=15 まで動くときの格子点の個数は
こ(x=k のときの格子点の個数)
15
k=0
日 解答田
x=15x とすると
よって,放物線 y=x° と直線 y=15x は2点(0, 0),
(15, 225)で交わる。ゆえに, 領域は図の赤く塗った部分
(境界線を含む)である。
(1) x座標が3である格子点は, 直線 x3=3 上にあり,
その座標を(3, y) とすると
25 3°Sy<15·3
よって,求める格子点の個数は
(2) 領域内の格子点で, 直線 x=k (kは整数)上にある点の座
標を(k, y)とすると, (1) と同様に考えて
x(x-15)=0
ソー、
225
iy=15x
45
9
0 |3
15 x
すなわち
9SyS45
45-9+1=37(個)
<y<15k
よって,その格子点の個数は
15k-k°+1(個)
k=0, 1, 2, ……, 15 であるから, 求める格子点の個数は
15
2(15k-ピ+1)=15k-こピ+21
15
15
15
-ん-
k=0
=0
k=0
k=0
k=1
k=0
k=0
15
=15こk-2+21
0S&S15 を満たすんは
16個あるから
15
16
k=1
k=1
e=1
16
=15·
2
す15-16--15-16-31+16=576(個)
15
21=21
*15·16·31+16=576(個)
k=0
k=1
6
