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OO000
基本 例題29 絶対値と不等式
次の不等式を証明せよ。
(1) la+bsla|+|6|
(3)Aa+b+cl<la|+16|+。
基本28) (重要第、
(2) lal-|b|<la+b|
指針> () 例題 28 と同様に,(蓋の式)20は示しにくい。
1A=Aを利用すると、絶対値の処理が容易になる。そこで
A20, B20のとき
の方針で進める。また, 絶対値の性質(次ページの①~)を利用して証明してもよい。
(2), (3)(1)と似た形である。そこで,(1)の結果を利用することを考えるとよい。
A2B→A2B'IA-B'20
CHART 似た問題 結果を利用
2方法をまねる
解答
イ1A『=A
lab|= la||
の(1)(lal+|ーia+bf=d"+2\a|l|6|+がー(a'+2ab+6)
=2(lab|-ab)20
la+bfs(lal+|b|)
の
よって
la+b|20, lal+620から
別 一般に、-la|Saslal, -|b|s6s|b| が成り立つ。
この不等式の辺々を加えて
la+b|sla|+|b|
この確認を忘れずに。
A|2A, |A|w-Aから
ーIA|SASA
19|+|||59+D号(19|+||)-
→ASB
イ-BSASB
la+blSla|+|b|
(2)(1)の不等式でaの代わりにa+b,bの代わりに -6と
(a+b)+(-6)|=la+b|+|-b
したがって
イズームUP 参照。
おくと
よって la|sla+b|+||
阿幅 [1] Jal-16|<0のとき
la+b|20 であるから, lal-b|<la+b|は成り立つ。
[2] Jal-1b|20のとき
la+bー(lal-b|)"-a+2ab+6がー(α-2ia||6|+が)
ゆえに |al-1||sla+b|
4lal-|||<0Sla+b
4[2]の場合は、(2)の左辺。
右辺は0以上であるから、
(右辺)-(左辺)20を示
す方針が使える。
=2(ab+lab|)20
(lal-16|0°sla+bP
よって
lal-|b|20, la+b|20 であるから
[1], [2] から
(3)(1)の不等式でbの代わりにb+cとおくと
la+(b+c)|<lal+」b+c
lal-|b|sla+b
lal-|6|sla+b|
4(1)の結果を利用。
Slal+b|+ \c|
4(1)の結果をもう1回利用。
(16+cls1b|+ Icl)
よって
la+b+cl<lal+|6|+1cl
練習
(1) 不等式Va+が+1 +上>
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