78 第1章 複素数平面
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例題 26
点の回転2
A(3+4i)
複素数平面上に点 A(3+4i), B(-1+2i) がある。
線分 ABを直径とする円Oの周上に, 図のように
点 C(y), D(8) をとる。
(1) AC=CB のとき, 複素数yを求めよ。
(2) △ACD が正三角形のとき, 複素数 7, 6を求
めよ。
C(y).
A
D(6)
B(-1+2i)
考え方 点Bを点aのまわりに0だけ回転し, さらに, 点αからの距離をk倍した点yは,
アーa=k(cos0+isin0)(B-a) から求められる。
(1) ZBCA= で AC=CB より, △ACBは直角二等辺三角形である。
である。
2
(2) 正三角形の内角は より、ZAOC=2COD=ZDOA=
3
π
(1)線分 AB は円Oの直径より, LBCA=
で、
解答
AC=CB より, △ACBは直角二等辺三角形である。
つまり,
3でら(LABC=, AB:CB=/2:1
が成り立つ。
よって,点C(y) は, 点A(3+4i)を点B(-1+2i) の
まわりに一だけ回転し, さらに, 点Bからの距離を
1本 (s)
方倍したものである。
したがって,
アー(-1+2i)
(回=Yーa
+isin-(3+4)-(-1+2i)}
=k(cos0+isin0)
COS
が成り立つから,
×(B-a)
の公式を利用する。
ア=
-(++20+(-1+2)=5i
(2)線分 ABは正三角形 ACD の外接円の直径より, AB
の中点が外心0で,
(2+1-)+(定)(+)-
OA=0C=OD
である。
よって,正三角形の内角は今より、
ZAOC=ZCOD=(DO
