の分
5
|。
分割して
重要 例題 249 変数t を含む定積分の最大･最小
00000
f(t)=fx-txdx とする。 f(t) の最小値と最小値を与えるtの値を求めよ。
[ 類 名古屋大 ] 基本 248
12
指針 グラフをかいて, 定積分がどの部分の面
積を表すかを考えてみよう。
g(x)=x2-tx とすると,g(x)=0の解は
x=0tであるから, y=lg(x) | のグラフは
右図のようになり, f(t) は図の赤い部分の
面積を表す。 積分区間は 0≦x≦1で固定
されているため、変化する x=tの位置が
0≦x≦1の左外, 内部, 右外のいずれかで場合分けをする。
(日
解答
g(x)=x2-txc とする。 g(x)=0の解はx=0, t
[①] [1] t≦0 のとき 0≦x≦1では g(x)≧0
よって f(t)=g(x)dx=f'(x-x)dx
分は、 それぞ
った部分の面
[2] 0<t <1のとき
0≤x≤t l g(x) ≤0,
よって f(t)=_Sg(x)dx+f,g(x)dx
= - [ x ³² - ²/² x ²] + [ ³² - ²/2 x²] =
3
2
F (1) = 1² - 1/2 = (1 + √2²) (1 -√2)
のようになる。
したがって, f(t) は
t
2
t=
をとる。
1 t
2
f'(t)=0 とすると
t=±
0<t < 1 における増減表は右のようになる。
0≦x≦1では g(x) ≧0
2
のとき最小値
t≦x≦1では g(x)≧0
√√√2
2
[3]
のとき
t
よって (1) Sip(x)dx=(1/-/-/-/1/3
2
以上から, y=f(t) のグラフは,右の図
33
I
2-√2
6
t
2
y4
2-√2
6
t
2
O
1- (1
3
t≤0
+
6
1-3
10 1x
√√21
2
t
f' (t)
f(t) 0
t
[1]
0
y=g(x) |
[2]
-
[3]
0
0
Y_y=lg(x)/
◄ - ( ² 1/2 + ²)2 + (1 - 2/2 )
1
t>0
0
√2
2
0
t1
1 x
2-√2
6
x
+
7
YA
y=g(x) |
17.
1 t
1
7章
41
面
積
