数学Ⅲ 微分法 dy/dtが2sintになる理由教えてください！

dy 272 xの関数yが, tを媒介変数として,次の式で表されるとき, をtの関数 dx として表せ。 (1) x=t+1,y=2t-1 *(3) x=sint, y=sin2t 教p.163 例題 8 (2) x=2t2-t+1, y=-2t-1 *(4) x=2(t-sint), y=2(1-cost)

[1]の証明のあとに[1]からなぜ双曲線関数と呼ばれるか分かるだろう、と書いてあるのですがなぜか結局よく分からなかったので教えてほしいです！

264 参考 事項 2 双曲線関数 p.254 の練習 149 (9) では、関数y=ex-e-x extex の3つを 双曲線関数といい, グラフはそれぞれ右下のようになる。 ① sinhx= 34 3 coshx= tanhx= e*-e-* 2 (左辺)= ette* 2 ex-e-* extex y= t2+1 2t るとx=cosht, y = sinht となる。 t2-1 2t の導関数を求めた。 この関数を含めて、次 y=coshx y=ex_ O y=sinhx (水) 双曲線関数の逆関数 y= なお, sinhx をハイパボリック サイン coshx をハイパボリックコサイン, tanhx をハイパボリック・タンジェントとよぶ。 高校数学において,これらの記号を直接使う場面はないが,双曲線関数を背景とした入 試問題はよく出題されるので,その性質を知っておくと便利である。一部を紹介しよう。 [1] cosh'x-sinhx=1 [2] tanhx= [3] (sinhx)'=coshx [4] (coshx)'=sinhx sinhx coshx y=-e cosh²x (>y>1- I>x>I-) それぞれ三角関数に似た関係式であることに注目したい。 例えば, [1] は次のようにし て証明できる([2]~[5] もそれぞれ確認してみよう)。J1 THRO >x>I- #(x)\ (S) [1] の証明 (e*+e^x)? (ex-e-x)^ _ ex+2+e-2-(e^x-2+e^2)=1=(右辺)せ。 4 4 4 _3+3 58=(x)\ 1=3² 3=88) 3255 - $38²55 YA A [1] から,なぜ ①~③ が“双曲線関数”とよばれるかがわ かるだろう。 なお, 三角関数は円関数ともよばれており, 円 COSx, sinx は単位円上の点の座標として定義されている。 一方, coshx, sinh x は, 直角双曲線上の点の座標として定大10 義されている。 また、基本例題 75では,双曲線x²-y2=1の媒介変数表 示x=- AD ASIAN YA 1 _^ ^ ^ = ( ^^ + (x) を導いたが、このtをe とおき換え 八十0)\ 10 [5] (tanhx)'= y=tanhx x (cosht, sinht) 1C7 x ✓x-ye = 1 DESI VOH est p.262 の EXERCISES 119 (2) では,導関数を求める際に, 関数 y=log(x+√x2+1) か ROSES らx= (=sinhy) を導いた。 このことから, y=log(x+√x+1) とy=sinh x は 2 逆関数の関係になっていることがわかる。 USPRES (1) TSI ASD) CABA

お願いします

ここに入力して検索 【1】 三角形ABCの内部の点Pについて, AP +3BP +4CP = ① が成り立って いるとする。このときAP を AB, AC を用いて表すと 1 2 AP である. mance.aspx?ctestid k= AB + 3 4 と表せる. また、直線 CPと直線ABとの交点をQとして, AQ=kAB とすると 5 6 O testattempt=1&Mondaikbn=0 AC 立 40点 5 6 60 60 10€ 1 2 3 5 6

問題107 2t^2はどこから出てきましたか？教えてください

(4) x=√t, y=√1-t *107 放物線y=-x2+2tx+(t-1)2 の頂点は,t の値が変化するとき,どのような 曲線を描くか。 2010 教p.58 例題 57 19

添付写真下部の波線を引いた箇所についてです。 その部分の積分の求め方が分からなくなってしまったのでわかる方、ご教授お願いします🙇‍♂️

432 重要 例題 262 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 媒介変数tによって, x=2cost-cos2t, y=2sint-sin 2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 指針 曲線の概形をみると, xの1つの値に対してyの値が2つ定まる部分がある (解答の図の 1≦x<12/2 の部分)。 これは,前ページの基本例題261 の題材のように、もの変化につれて xが常に増加(または常に減少) というわけではないためである。 →xの値の変化を調べて,xの増加･減少が変わるもの値を求め、0≦t≦もにおける♪ 解答 図から, 0≦t≦πでは常に y≥0 また, y=2sint (1-cost) であるから, y=0 とすると sint=0 または cost=1 0≦t≦rから t=0, n) 更に =-2sint+2sin2t=2sint(2cost-1) dx dt 0<t<re dx = 0 とすると, cost= 11/1/3から dt よって, xの値の増減は右上の表のようになる。 TC π 図ゆえに, osts / におけるyy, Atsにおける 3 y t= dx dt -3 sint 2 sint cost+ 基本 261 yをxとすると dx S=S²³₁₂ v₁dx-S₁² y ₁ dx = S ₁3 y de -3 =Syardto=S(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)dt S = -3 =2S(2sint-sin2t) (sint-sin2t)dt =2S(2sin't-3sintsin2t+ sin²2t)dt =25.2.1-cos2t 2 3 = 25" (1²/²/2 --cos 2t-cos 4t-6: TC -dt -cos 4t-6sin't cost dt cost)dt π 3 =211231-1/23 sin2t-1/23 sin4t-2sin=3 8 1-cos 4t 2 t 0 dx dt x 1 34t)dt + t=π -3 π 3 0 y2 2 22 S : - YA x 73/2 R また -S=So TC t=0 -3 重 方 T 1/3 yi 13-2 (1) (2 指 x Sf-s. =S+S=S° =-2(sint-sin2t)

青チャのベクトルの問題です！ 例題82の⑵なんですが、直線mが球面に接する条件がD＝0となるのはどうしてですか？ fの値が二つ出てきたらダメなんですか？ 分かりやすく説明して欲しいです！🙏

直線と平面の交点、直線と球面が接する条件 演習 例題 82 (1) (2, 4, k)に平行な直 平面α: 2x+3y-z=16との交点の座標を求めよ。 (2) k>0とする。 点(-3, -1, 0) を通り, ベクトル (1,1, m が 点 (0, 2, 3) を中心とする半径3の球面に接するように、 定数kの値を 定め、 接点の座標を求めよ。 直線上の点の座標に関する問題 媒介変数表示利用 指針 指針 前ページと同様に、 て考える。 媒介変数で表した後は, それを (1) 平面の方程式 (2) 球面の方程式に代入 て, 媒介変数t の方程式の問題にもち込む。 解答 ■直線l上の点を媒介変数 (1) l の方程式は (x,y,z)=(2,4, -1)+t(3,-1, 2) から x=2+3t, y=4-t, z= -1+2t (t は実数) tを用いて表す。 これらを2x+3y-z=16 に代入して 2(2+3t)+3(4-t)−(−1+2t)=16 よって t=-1 x=2+3 (-1), y=4-(-1), (-1, 5, -3) ゆえに, 求める交点の座標は z=−1+2 (-1) (2) m の方程式は (x,y,z)=(-3,-1,0)+t(1,1k) から (1) 直線m 上の点を媒介変数 tを用いて表す。 また, 球面の方程式は x²+(y−2)²+(z−—3)²=9 ① を代入すると (−3+t)²+(−3+t)²+(kt−3)²=9 ...... よって (k2+2)t2-6(k+2)t+18=0 2 FI /直線が球面に接する条件は、 2次方程式②の判別式Dに k²+2+0 ついて D=0 ここで P={-3(k+2)^-18(k²+2) =-9k2+36k=-9k(k-4) D = 0 から k=0, 4 k>0であるから k=4 このとき ② から -3(4+2) t== =1 2次方程式 42+2 ax²+2b'x+c=0 の重解は ゆえに、接点の座標は、①から (-2, 0, 4) 26' b' x=- 2a a 練習 (1) 点 (1,1,-4) を通り, ベクトル (2, 1,3) に平行な直線ℓ と, Ⓒ82 平面α:x+y+2z=3との交点の座標を求めよ。 (20) とする。点(0,0,0)を通り, ベクトル (1,-1, k) に平行な直 が点(5 【1. 508 x=-3+t, y=-1+t, z=ht ( t は実数) 演習 (1) (2) X

問27の(3)の解き方を詳しく教えて欲しいです

さらに ひ キ 0, v20 のとき (2) においてt を消去すると x-xo y-yo = V1 V2 これがx,yの関係式で表された直線l の方程式である. 問 ・ 27 次の直線の媒介変数による方程式を求めよ. (1) 点 (2, 1) を通り, 方向ベクトルが (3, 4) の直線 (2) (3,-2) 通り, 方向ベクトルが (0, 5) の直線 (3) 2点A(4,3), B(7, 2) を通る直線 (3)

東大の複素数の問題です。 手の付け方が分からないので教えていただきたいです🙇🙇

8 14. 複素数z.wの間にw=zなる関係があり、複素平面において点z は4点 1+i, 2+i,2+2i 1+2iを頂点とする正方形の周上を動くものとする. このとき,複素平面において,点wの描く軌跡を図示せよ. (東京大・改)

数3の積分の問題です。 これはtを消去したグラフを書いた後にxの範囲が分かって、それをtに直しているんですか？ もしそうなら、どうやったらこのグラフを書けるのか教えて下さい。テストが近いのに媒介変数表示されているものが全く出来なくて泣きそうです😭

450 次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 (1)* x=1-t¹, y=t-t³ (0≤t≤1)

2枚目の赤のマーカーのところ、なんで2が出てきたんですか？

228 第6章 積分法 124 曲線の長さ (1) 曲線 y=212x1 上の 0≦x≦1に対応する部分の長さ / を求めよ。 (2) 媒介変数0を用いて表される曲線 x=0-sin0 (0) 長さLを求めよ. y=l-cose C 曲線の長さを求める公式は、曲線の表し方によって2つの形があり ます(ポイント)。これらの使い分けは簡単ですから,結局は今ま で学んできた定積分ができるかどうかにかかっています。 ① 最後まで自分の手で計算すること ② 間違いをくりかえしてもあきらめないこと (+1) golas (5) C 解答 (1)'=2xl だから 1=S²√1+y¹²³ dx = f*²√1+4x dx = (1 +4x) dx = [ 3 (1 +4x) + 1] 5√5-1 6 -=1- dy cos 0, = sin0 だから de 2 2 dy + =√(1-cos0)2 +sin20 0 基礎問 精講 定積分の学習で大切なことは, の2点です . dx de dx do. de =√2(1-cose) 2.2 sin² =2\sin =√² 0 2 (40) gol-gol) ポイント Ⅰ <fxdx=x+1+C を忘れないこと sin²0+ cos²0=1 C 0 1-cos0 sin² 2 2 √A² = |A| -TAMP =2