別解の解き方の方針は、j を固定して i を動かした後、 「今度は j を変えて、再び i を動かす。」のではなく、 「iが動いている状態の数式が出てくるので、その式の中でjを動かす」でしょうか。

4 総和/公式の活用, 展開の活用 一般項が an=2n-1で表される数列がある.このとき, a2= (1) である.また, 41 から 10 までの異なる2項の積 aia, (ただし, i<j) のすべての和は(2) である. 10 k=1 (芝浦工大) 展開の活用 ① (a+b+c)=a+b2+c22ab+bc+ca)3C22) ② (a+b+c+d)=a+b2+c+d-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) というように, ①で,展開した式の ・部には, a,b,cの3個から異なる2個を取ってできるすべて の種類の積が出てくる. ②で, 展開した式の 一部には, a, b, c, dの4個から異なる2個を取ってで きるすべての種類の積が出てくる. 4C2 ET (a1+a2+..+an)の展開を考えると,ここには, 41, a2, 3, ..., an の中から異なる2個を取り出し て作られる積,„C2通りのすべてが出てくる。これを利用して総和を求める。(1th) +a2b+3bat- 2→b

この問題、取っ掛かりをどう考えますか？公比の正負が決まることで、3つの数の並べ方が6パターンから3パターンに絞ることができるから、正負を決めようとする感じでしょうか？ 他の取っ掛かりはありますか？

3° のとき, ・3a-18= 以上から, (a,b,c) = (3/2,3, 6), (6,3,3/2) (イ) {a} の初項をα, 公比をとおくと, an=arn-1 [ (イ) 後半の方針] > bは解 a+az=a+ar=a(1+r)=135 as+ as = ar³ + ar₁ = ar³ (1+r) = 40} ar3(1+r). 40 8 2 \3 ける不等式ではない. 最小のn ・から を求めたいので, n=1,2, より,23 a (1+r) 135 27 よって,r= 2 3' 135 135 a= ・=81 1+r 5/3 {bm} の公差を d とおく. by~ 65 の和= なので, (84+2d) ・5=290 2\n-1 (3)", bm=84-13(n-1) b1+65 84+ ( 84+4d) 2/2 ・5が290 順に調べていくのが早い。 なお, 座標平面上に (n, an), (n, bm) をプロットすると下図のように なる。 YA 2 .. 42+d=29 . d=-13 -y=97-13x =81(3) an=81. n 1 2 3 4 5 9 32 64 an 81 54 36 24 16 と表よりan> b となる最小のnは7. 39 bn 84 71 58 45 32 19 6 br 02 03 04 05 06 a a az a3 asas 0 1234 5 6 7 x -1 2 演習題 (解答は p.72) pg を実数とし, pg とする.さらに, 3つの数4, p, gをある順に並べると等比数列 となり, ある順に並べると等差数列となるとする. このときp, q の組 (p, g) をすべて求 (小樽商大 ) めよ. 公比が正か負かを考えよ う。 57

問題解説の (1)部分にある第1群～第(N－1)群までに入る数の個数を求める式の内の左辺にある 2の(N－2)乗　が何故出てくるのか (2)部分の等差数列の和を求める式内で 2の(N－2)乗　が求められる過程 の2つがわかりません。 どなたか解説お願いします💦

*68 自然数の列を,次のような群に分ける。 ただし,第n群には27-1個の数が入 るものとする。 教 p.33 応用例題5 やり方は ok 1|23|4,5,6,7 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | 16, ... 第1群 第2群 第4群 第3群 (1) 第n群の最初の数をnの式で表せ。 (2)第n群に入るすべての数の和Sを求めよ。 ・ヒント □ 70 6

次の問題の青い線の移り変わりが分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

次の数列の和を求めよ。 思考プロセス S = 1.1+3・3+5・32 + 7.3 + +(2n-1)・3n-1 既知の問題に帰着 一般項 (2n-1)3"-1の和 (等差数列)・(等比数列) 等比数列の和の公式の導き方と同様に求める。 (Point参照 ) ×(公比) ( S = 1・1+3・3+5・32+7・3°+ ... + (2n-1)・3-1 -) 35 = - 2S=1・1+( 等比数列の和 )-(2n-1) 3r 1・3 + 3・3° + 5・3° + + (2n-3)・3-1+ (2n-1)・3 Action》 (等差数列) × (等比数列) の和Sは, S-S を計算せよ 解 S = 1.1+3・3+5・3 + ･･･+(2n-1)・3n-1 ①の両辺に3を掛けると 3S = = ① ② より ① 1.3 + 33° + + (2n-3)・3n-1+ (2n-1)・3 ② -2S = 1・1+ 2 3 + 2・3 + +2.3"-1-(2n-1)3" =1+2(3+32 + +3"-1)-(2n-1)・3" 3(3-1-1) =1+2・ (2n-1).3n 3-1 =3"-2-(2n-1) 3 =-2(n-1)・3-2 ② したがって S= (n-1)3" + 1 の符号に 3 +3 +... + 3,公比3, この等比数列の とくに数

19番の問題です。 なぜ式にプラス1をするのかがわからないです、

16 の面積として正しいものはどれか。 1 6π (cm²) 26√3〔cm²〕 下図のように、半径6cmの円に正六角形が内接しているとき, 斜線部 数的推理 6cm- 3 9π (cm²) 4 9√3π (cm²) 5 (9-√3)〔cm²〕 8 大・中・小3個のサイコロを同時に投げるとき,2個だけ同じ目にな る確率として正しいものはどれか。 11/2 2 1/2 3 4 3 5 4 5 12 12 12 25 36 X 18 αとβの2つの文字を最大n個組み合わせることによって, 80通りの 暗号を作りたい。 このとき, nの最低限の値として正しいものはどれか。 14 4 7 5 8 |19 長さ420mの道の両側に,それぞれ30mおきに街路樹を植える際、必 要な本数として正しいものはどれか。 1 14 本 215本 3 28本 430本 532本 20 下図のように棒を規則的に並べて正六角形をつくっていく。このとき、 21番目まで並べる際に必要な棒の総数として,正しいものはどれか。 1番目 2番目 3番目

2で割ると1余り、3で割ると2余る自然数はなぜ6で割ると1不足する自然数になるのですか？ どのように計算したのですか？

[ 504 演習問題 114 余る数を小さい順に並べてできる数列は等差数 100 以下の自然数について, 2でわったら1余り, 3でわったら2 き,初項,公差,項数を求めよ. 列 になる この . と

赤丸のところでどうしてイコールがつくのでしょうか？ ここがイコールならa＝27もあり得るので最小値も最大値も27になると思うのですが、、

④ EX 自然数からなる等差数列がある。 この等差数列の項の最大値は 27 で, 項の和は75である。こ [岐阜薬大] ③7 HINT] 等差数列の初項および末項は、その数列の項の最小値または最大値である。 項の最小値をα,項数をnとすると 1/12n(a+27)=75 また, 0<a≦27 であるから 27<a+27≦54 したがって (n, a+27)= (5,30), (350) よって (n, a)=(5, 3), (3, 23) n=5, a=3のとき、次の場合がある。 [1] 初項が3, 末項が 27 項数が5の等差数列 [2] 初項が 27, 末項が3, 項数が5の等差数列 <n(a+27)=150, 27 <a +27≦54 から a+27=30,50の2通り が考えられる。 ←第5項が27 [1]のとき,公差をd とすると 3+ (5-1)d=27 ゆえに d=6 よって,求める数列は 3, 9, 15, 21, 27 [2] のとき,公差をd とすると 27+(5-1)d=3 ゆえに d2=-6 よって, 求める数列は 27, 21, 15, 9, 3 2 n=3, a=23 のとき,上と同様に考えると, 求める数列は 23 25 27 または 27, 25, 23 23,25,27 ←第5項が3 ← 「初項 23, 末項 27, 項 数3の等差数列」または 「初項 27, 末項 23, 項数 3の等差数列」。

(1)の解説の2行目で、なぜa1が正とわかっているのに、両辺をa1で割らないのですか？ また(2)の解説6、7行目「a_n>0より…」では、 a_nが正であることから、両辺をa_nで割ってますが、 なぜこちらは両辺をa_nで割って良いのですか。 この違いはなんですか？

3 A 正の数の数列{an}について (1 + a2 + a3 + +an)2 3 3 3 =a1+a2+a3+... +an が成り立っているとする。 (1) 1, 2, a3 を求めよ。 (2)an の一般項をnの式で表せ。 3 .....1 (n=1,2,3,...) 1

(イ)を2枚目のように、「2」を入れ忘れて、３項間漸化式で特性方程式が重解を持つ場合として、等比数列の形にして解きました。 このミスを正そうとして2を加えようと思いましたが、どこに加えればいいか分かりませんでした。そもそもこの考え方が違うのでしょうか。

漸化式典型的なタイプに帰着 -+1によって定義される数列{a} を考える. ここでbn= (ア)条件 α=2, an+1= an-l 3+an とおくとき,bn+1 を by を用いて表せ.また,{a} の一般項を求めよ. an-1 (東京経済大) (イ) 数列{a} を a=1, a2=2, a,+2-24n+1+an=2(n=1,2,3, …)によって定める. bn=an+1-an とおくとき, by をnの式で表せ。 また, annの式で表せ。 (工学院大 ) an+1=pan+α 型 an+1=pan+g(p, q は定数で, 0, 1) ...... ① に対して,a=pa+g...... ② を満たすように定数αを定め、 ①②よりan+1-α=p(an-α) これより{a-α}が公比』の等比数 列であることを用いて解く. n-1 an+1-an=f(n) 型 階差が分かっている数列の一般項は, 階差を足し上げて求める. n≧2のとき an=a1+(az-a)+(as-a2)+..+(an-an-1)=f(1)+(2)+f(n-1)=a+f(k) 上式はn≧2のとき通用する式で, n=1のとき成り立つか否かは確認が必要. 問題によっては, an-an-1=g(n)が分かっている場合もあり、 公式を丸暗記して適用するとミスしやすい. 上式のシグ マ記号の上下の数 (初めと終わり) は, そのつど具体的に確認しよう. 解答 + an-l (ア) an+1= 1 +1 ① 3+an bn= an-1 ( (1日)=1+( 1 bn+1= == an+1-1 1 an-1 3+an (an-1)+4 -=1+ an-1 an-1 4 an-1 =46+1 分数式は分子を低次に. 3+an :.bn+1=46+1 ... ......③ 1 :.bn+1+ =4b₂+ <>a=4a+1 1 ②より, a1=2のとき, b1=1. を満たすαは 3 {{+*} は公比4の等比数列であり,bn+1/2=4"-1 (01+1/2) An ③④より求める. b1+- 3 4"-1 bn= = ②より, an 3 1 bn +1= 3 4"-1 3 4"+2 3 +1= >± 9. an-1=1 4"-1 (イ) an+2-2an+1+an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=bn+1-b" が2なので, bnti bn+1-bn=2. また, b1=42-41=1 Pn よって,{bm}は初項 1, 公差2の等差数列で, b=1+2(n-1)=2n-1 2のとき、作品もん an=a1+(az-a)+(a3a2)+…+ ( an-an-1) =a+b1+b2+... +bn-1 =a+ b1+bn-1. 2 1+{2(n-1)-1} (n-1)=1+ 2 よって、求める式は,,=1+(n-1)²=n-2n+2 (n=1,2,3, ...) (n-1) (n=1でもOK) {6} は等差数列. その和は, (項数) (初項) + (末項) 2

この問題はいわゆるS-rS方で解くならば、rに何が入りますか。

(1) 数列 f(k)=2k (ak2+bk+c) が、つねに f(k+1)-f(k)=2kk2 をみたすとき, 定数a, b, c を 求めよ。