解説お願いします🙇‍♀️

4例題94 微分と積分 関数 f(x)=x²-4x-5に対して, g(x)=3f, f(t)dt とおく。関数 g(x) は x=アイ のとき極大値をとる。 また,g(1)=ウである。 POINT ! なぜはA()=f(t)dtのとき g'(x)=f(x),g(a)=0 - 5 (積分した関数を微分すると, もとの関数にもどる ) 18>115412 ですか? x 舞雪 f(x)=35(t)dt=3/(x)=3(x-4x-5)=3(x+1)(x-5) POINT! g'(x)=0 とするとx=-1,5 極大 g(x) の3次の係数は正であるから,グラ 274 フは右のようになる。 よって, x=アイー1のとき極大値をとる。 またg(1)=3f(t)dt="0 面積 $-=$-x| 極小 ◆極値 ⇒g' (x)=0 グラフをイメージ。 - 1 90 g' (x) の2次の係数が正で あるから,g(x) の3次の 係数も正。 ←Sof(x)dx=0

解答がなくてわからないです、、

数学ⅢI 入試問題集 2022 3.2 積分で定義された数列・関数 63 自然数nに対して、 次の問いに答えよ. CF (1) 定積分 πn= Si tan 0 do を考える. I1= ア |,x2= イであり, n ≧2 では In−1+In+1 = ウの関係式を満たす. (2) 定積分In を In = 10 sin" xdx で定める. n ≧3のとき, In を In-2とnを用いて表せ.また, I2,I4 の値を求めよ. B E

この積分の式の計算方法がわかりません。 地道に計算していっても答えが合いません。 2乗の部分を一度展開して計算していけばいいのでしょうか？

22. z 14 Via. V=S, π. (4-x²) ²2 ff x + √² r. 1-3x) dx ~ S-tr(-3x)" dz 4x (4-x²)³dx =1322

こちらの不定積分はどのようにして解けば良いのでしょうか？ 解説よろしくお願いします

+ Sin ²x + 1 inx) +

左下から右上の式変形が理解できません。 教えていただきたいです🙇‍♂️

ニューステージ IA+ⅡB y=(t) のグラフと直線y=kが相異なる2つの 共有点をもつことである。 このとき、 右の図から 78 k0 シス 8 同様に考えて、 右の 図から、点Pを通る 接線の本数は k=5のとき1本, k=-2のとき 3本、 k=-12のとき 1本 である。 となることである。 ここで f'(x)=0 とすると y=5 O y=-2 251(不等式の成立条件) f(x)=x-a(x2-α)とおく。 すべてのx(x≧0 に対して, 与えられた不等式 ) が成り立つための条件は,x≧0 において (f(x) の最小値) ≧0 x 0 -8 f'(x) =3x2-2ax=x(3x-2a) f'(x) 0 f(x) 1 2 x=0, a [1] [1/30 ≦0 すなわち as 70 のとき 028 x≧0 においてf'(x) ≧0であるから, f(x) は 単調に増加する。 よって, f(x)はx=0で最小となる。 ゆえに,不等式が成り立つための条件は f(0) 20 すなわち 2≧0 1-10 これはすべての実数a に対して成り立つ。 よって a≤0 [2] 12/34 > 0 すなわちa>0のとき x≧0 におけるf(x) の増減表は次のようにな る。 3 2 ga -a³ 27 0 + オ 極小 2 よって, f(x)はx= αで最小値をとる。 3 ゆえに,不等式が成り立つための条件は 7/3/30) 20 8 すなわち 2010-0) 20 al 整理して a>0であるから 27 0<a</ a>0と合わせて [1] [2] から 求めるαの値の範囲は オカ 27 +4 a² (a-27) ≤0 4 252 (不定積分) (1) S (x+3-7)dx a≦ =1/1/3+1/23x27x+C(Cは積分定数) (2) f'(x)=(3x+2) であるから f(-1) = 0 から f(x)=f(3x+2)dx=$(9x2 +12x+4)c =3x3+6x2+4x+C (Cは積分定数 3・(-1)+6・(-1)²+4・(-1)+C=0 よって C=1 ゆえにf(x)=3x3 +6x2 +4x+1 (3) f'(x)=2xから = f(x)=2xdx=x2+C (Cは積分定数 曲線 y=f(x) が点(0, 1) を通るから f(0)=1 よって C=1 ゆえにf(x)=x2+1 (4) 27 a-47/50 253(定積分) (1) S(3x2+4x-5)dx=[x+2x²-5x]=78 (2) x4 4 CHECK - ウ 27 4 2f'(x-1)dxf (2x-3)dx =S, {2(x-1)-(2x-3)|dx=f1dx=[x]=" (3) S_(x+1)x−2)°dx=f(x)] -x³+4x 24 - (-1)4 4 3 254 (x³-3x²+4)dx --{23-(-1)3}+4{2−(−1)} Slx(x+2}\dx * = -√°, (x² + 2x) dx + √²³ (x² + 2x)dx

名問の森の質問です！ ？のところのV1とV2の向きがなぜそうなるか分からないので教えて下さい！

122 電磁気 38 電磁誘導 十分に長い直線導線Lがy軸上 にあり, 1辺の長さ2aの正方形コ イル ABCD が 辺ABをx軸上に, 辺BC を軸に平行にして置かれて いる。 コイルの電気抵抗は R で, コ イルの位置は辺ABの中点Mの座 標xで表す。 装置は真空中に置かれ, 真空の透磁率 μlo とする。 コイルの 自己誘導は無視する。 Foll 導線L に+yの向きに一定電流Iを流し,コイルを一定の速さ で,xy平面上,x軸に沿って導線から遠ざける。コイルがx(a)の 位置を通過するときについて, (1) L による,点A,B での磁場の強さ H1, H2 をそれぞれ求めよ。 (2) コイル全体での誘導起電力の向き (時計回りか反時計回りか)と大 きさVを次の2つの方法で求めよ。 Level (1)★★ (2) (a)★ (b)★ (3)★ Point & Hint 電磁誘導は一般にはファラデーの電磁誘導 の法則に従っている 0 (2) (b) 微小時間⊿tの間の磁束の変化⊿のを調 べる。 といっても, コイルを貫く磁束のはコイ ル内の磁場が一様ではないので(積分しない限 り) 計算できない。 そこで, 変化した部分だけ に目を向ける。 近似の見方も必要。 L D A -2a- M C B (a) 1つ1つの辺に生じる誘導起電力を調べる。 (b) コイルを貫く磁束の変化を調べる。 (3) x=2aのとき, コイルに加えている外力の向きと大きさを求め よ。 (九州大+お茶の水女子大) -V Base 電磁誘導の法則 磁束① = BS V=-N40 4t 一面積S N巻きコイル ※マイナスは磁束の変化を 妨げる向きに誘導起電力 が生じることを表す。 LECTURE (1) A,Bでの磁場は ? I H₁ = 2π (x− a) 2π (x+a) (2a) 直線電流Ⅰのつくる磁場は紙面の裏へ の向きとなり、磁力線を切って進む AD と BCで誘導起電力 V1, V2が図の向きに発生 している。公式V=vBlより V₁ = vμoH₁.2a V2= vμoH22a 2つの起電力が逆向きとなっていることと, H>Hより全体の起電 力は時計回りで (b)微小時間tの間にコイルはx=v4t だ け動き,右の赤色部分で磁束を402 増やし、 灰色部分で4の減らす。 そこで,磁束の変化 40は H2= 40= 40₂ 40₁ =μoH22a4xμoHi・2a4x 2μo lav π (x²-a²) At 符号マイナスは磁束の減少を表している (H) > H2 より定性的にも明らか)。 よっ て, 誘導起電力の向きは、父の向きの磁場 を生じるようにコイルに電流を流す向きで あり、時計回りと決まる。 40=2μoIav V = π (x² - a²) 4t V=V1-V2=2μova (H1-H2)= 2μo Iav π (x²-a²) (3) x=2a より V= 2μo Iv であり、誘導電流 3π えは時計回りに流れ, オームの法則より i = R 38 電磁誘導 2μo Iv 3πR V₁ H₁ v A -x+a H₁ 4x F D 123 H 2 V i V2 A ⊿xは微小なので ③ 磁場はHやHで 一定としてよい。 B H2 4x C i F2 B Iとの向きから, ③ F は引力, F2は反 発力と決めてもよい。

この不定積分教えてください

(2) f (sint x) dx

赤で印をつけたところが、なぜそうなるのかが分かりません。教えて下さると嬉しいです🙇‍♀️

例題 58 面積を2等分する直線の傾き 放物線y=3x-x2 とx軸で囲まれた部分の面積を直線y=kx が2 等分するように、 定数kの値を定めよ。 考え方 放物線y=3x-x2と直線y=kx で囲まれた部分の面積を S(k) とする。 放物線とx軸で囲まれた部分の面積は S(0) であるから, 2S(k)=S(0) を満たすんの 値を求めればよい。 放物線y=3x-x2 と直線y=kx で囲まれた部分の面積をS(k) とする。 放物線と直線の交点のx座標は, 方程式 3x-x2=kx を解いて x=0, 3-k 面積を2等分できるためには 03-k<3 すなわち0<k<3 ここで ...... S(k)=S{(3x-x2) -kx)dx =-Sox{x-(3-k)}dx = 3 (3) 6 放物線とx軸 (直線y=0.x) で囲まれた部分の面積 は S(0) であるから, 面積を2等分するとき 2S(k)=S(0) すなわち 2• よってエ (3-k)³ = 27 2 したがって (12) 答 kake h=30 (3) 3° 6 6 すなわち 3-k= fal = 3 YA これは ①を満たす。 S(k) ----- 3-k y=kx_ 3 y=3x-x 2 18

解答の8行目なのですが、fxはなぜx=0で微分可能であると分かるのですか？

356 00000 微分可能な関数f(x) f'(x)=ex-1 を満たし, f(1) = e であるとき、f(x)を 求めよ。 X 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 指針 ▷>条件f'(x)=lex-1|から, f(x)=flex-1|dx とすることはできな い。 まず、 絶対値 場合に分けるから x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-ex+1 x>0のときは、 x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 練習 解答 x>0のとき, ex-1>0であるから よって f (1) =e であるから ゆえに C=1 よって したがって ④ 4 2111 limf(x)=limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 0 (e=e-1+C_ したがって f(x)=ex-x+1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よってf(x)=f(-ex+1)dx = e から f(x) が決まる。 しかし, と条件f(1) そこで, 関数f(x)はx=0 で微分可能=x=0 で連続 (p.242 基本事項1②に着目。 320 tation ( =-ex+x+D (D は積分定数) (2) f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0で連続である。 ゆえに ①から ②から f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数) limf(x)=limf(x)=f(0) x-0 x→+0 π 2 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 x→+0 x→+0 lim f(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D x-0 ゆえに ex-1 このとき, lim -=1から x→0 x lim h→+0 2=-1+D=f(0) lim h-0 x-0 f(x)=-ex+x+3 ...... ƒ(h)-f(0) eh-h-1 h h f(h) -f (0) h =lim ん→+0 A =lim h-0 -=0, -e+h+1 h =0 よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)= D=3 yA 基本210 0 an y=ex-1 導関数 f'(x) はその定義か らxを含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 f(x) は微分可能な関数。 ◄lim 必要条件。 逆の確認。 p.257 も参照。 im (e^/-1-1) ん→+0 lim{=(e^-¹) +1} ん→-01 h OTS 1 π <x<1とする。 f'(x)=|tan²x-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。

マーカー部分がよくわかりません。お願いします！

*105αを実数とし,xの関数f(x)をf(x)=(x+1){x-(3a-2)x+2a(a-1)} とする。 (1) 座標平面上の点P(−1, 0) における曲線 y=f(x) の接線lの方程式は y=(2a²+a-イト)(x+1) である。 xの関数 g(x) をg(x)=( ァ a2+a-イ)(x+1) - f(x) とすると, g(x)の極大値はa < ウ のとき I a>ゥ のときオαである。 (2) 曲線 y=f(x)とx軸との共有点の座標は (-1,0),キ, 0), (クケ- コ, 0) である。 以下では,これらの共有点は異なる3点である とする。 x軸上において, 点(-1, 0) が他の2つの点の間にあるようなαの範 である。 囲はサシ <a< また, 点 , 0) 点P(-1, 0) を通り, Pにおける接線が! となるような 放物線の方程式をy=(x) とすると, (x)=(ソタチ)(x+1)(x) である。さらに,定積分 -タチ)(トナ + ニ)で [07 センター試験追試〕 - ス セ ツ = S_h(x)dxの値はI=-- テ ある。 ソ 数学Ⅱ