例題 33
指数関数·対数関数の最大·最小
(1) 関数 y=4"-2*+2+3(x<3) の最大値と最小値を求めよ。
(2) 3SxS81 のとき, 関数 y=ー(log,x)"+logax+1 の最大値と最小値, およびそのとき
b
のxの値を求めよ。
((1) 類日本工大, (2) 広島修道大)
おき換えて、2次関数の最大 最小の問題に帰着
考え方(1) 底を2にそろえ, 2"=t とおく。
(2) xの範囲に注意して log,x"=6log,x と変形し、 log,x=t とおく。
→ tの変城を調べて、yをtの式で表し,2次式を平方完成して最大値,最小値を求める。
ポイント
解答
1 文字のおき換え
+ (1) 2"=t とおくと, x$3 におけるtのとりうる値の範囲は
1。
0<tS8
y=(2")?-4-2"+3="-4t+3=(t-2)?-1
35
2 yをtの式で表す
3 最大値 最小値
また
一ト
0<tS8 において, yは
t=8 で最大値 35, t=2 で最小値 -1をとる。
参考 t=8 のとき,2=8 から
t=2 のとき、2"=2 から
2。
一キ
3。
x=3
87
1 文字のおき換え
2 yをtの式で表す → このとき
x=1
+ (2) logax=t とおくと, 3Sxい81 から
y=-(log」x)°+6log,x+1
=ー+6t+1=ー(t-3)*+10
4。
1StS4
y4
5。
10
3 最大値·最小値
最大となるxの値
最小となるxの値
よって、yはt=3 で最大値10,t=1 で最小値6をとる。
t=3 のとき,log,x=3 から
6
6。
x=27
0
t=1 のとき,logsx=1 から
x=3
34
7。
したがって、yは x=27 で最大値10, x=3 で最小値6をとる。
