この問題の、解答の「sin2/θは周期2πの周期関数より」ってところの意味がわかりません。絶対値がはずせるってことを言っているのかなと思うんですけど、、お願いします😿

以下の曲線の長さをそれぞれ求めよ. + (1) 正の整数nに対して, 媒介変数(0≧≦2nπ) を用いて表される曲線 x=0-sine, y=1-cos0

数学の円と円の交点の問題について質問です。 写真一枚目の一番の問題が分かりません。 詳しくは写真二枚目の印してある部分がどういう意図で書かれているのかとか、どうして2＋1なのかわかりません。 教えてください💦 お願いします🙏

42 2円の交点を x 2円 '+y-2x+4y=0dx+y+2.x=1 ...... ② がある. 次の問いに答えよ. 1) 1, ② は異なる2点で交わることを示せ. (2) 18. 14 2 ①②の交点をP,Qとするとき, 2点P,Qと点 (1, 0) を通 る円の方程式を求めよ. (3) 直線 PQ の方程式と弦PQ の長さを求めよ. 精講 (1) 2円が異なる2点で交わる条件は 「半径の差 <中心間の距離 <半径の和」 です.

(2)について質問です。 右はどこで間違えているのでしょうか？🙇🏻‍♀️

練習問題 8 次の不定積分を求めよ. (1) 22(x²+1)³dr (2) S sin rcosrdr e2x -dx (3) e2x+1 (4) Sxe* dx の口 223 精講 上に並んでいる関数はどれも,ある部分をかたまり□と見なすと, 「(口の式) × (□の微分)」 とは 「□の式」 の部分を, □を変数と見て積分してあげればうまくいきます. という形になります. これが合成関数微分の痕跡です. これを見抜ければ,あ 合成関数微分の痕跡 解答 (1) 2.x(z2+1)=(z+1)×(z2+1)なので ((x) $t= f (x²+1)³ (x²+1)'dx=- dx = 1½ (x²+1)+C (x^2+1) +C/念のために右辺を微分してみると 24分 1/1(+1)+c}= =(x+1)x(x2+1)、 +1をかたまりと見て積分 (2) sin³rcos.rdx となる. 合成関数微分の痕跡 = (sina)×(sin.z)dz=1(sina)"+C=1sinx+ C つけると sinz をかたまりと見て積分 =2x(x²+1)³

(4)の積分について質問です。 真ん中が解答ですが、右のように解いても良いでしょうか？🙏

(4) S x √1-x² dx

微積の問題です。最後の面積を求める問題が全く理解できません。なぜ三角形ABCが出てくるのでしょうか？

目標解答時間 10分 71 難易度 ★★ 2次関数 f(x)=1/2x2+1 を考え、放物線 C:y=f(x)上に2点P(4t,f (4t)), ■関連する基本 Qt.f(t)) をとり、 2点P, Q における放物線Cの接線をそれぞれし, mとする。ただ し, t>0 とする。 ア 2直線lとが直交するときに であり,このとき 直線の方程式はウ XC I 直線の方程式はy オカ キ ク x+ ケ である。 さらに、 2直線の交点のx座標は である。また,このとき, 放物線C サ と2直線1mによって囲まれた図形のうち,x≧0を満たす部分の面積をSとすると [シスセ S= ソタチ である。 配点 10

（2）でなぜx>0なのですか

94 うちで,点(e, 2) を通るものを求めよ。 基本 例題 119 導関数から関数の決定 (1) f'(x)=xe*, f(1) = 2 を満たす関数f(x) を求めよ。 (2) f(x)はx>0 で定義された微分可能な関数とする。 曲線 y=f(x) 上の点(x, y) における接線の傾きがで表される曲線の DOOOO 1 x p.180 基本事項 1 CHART & SOLUTION 導関数から関数の決定 積分は微分の逆演算 積分 F'(x)=f(x) 微分 (1) f(x)=√xe* dx Sf(x)dx=F(x)+C なお,右辺の積分定数Cは,f(1)=2 (これを初期条件という) で決まる。 (2)(接線の傾き)=(微分係数) よって 点(e, 2)を通るf(e) =2 (初期条件) f(x)=1/2 -> 積分定数Cが決まる。 解答 (1)_f(x)=√xe*dx={x(e*)'dx=xe*(x)'e*dx =xex-fe*dx=(x-1)e*+C (Cは積分定数) f(1) 2 であるから C=2 ゆえに f(x)=(x-1)ex+2 (2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きは f(x)であるから f(x)=1/2(x>0) よって f(x)=2x=logx+C(Cは積分定数) x f(x)== この曲線が点 (e, 2)を通るから 2=loge+C ゆえに C=1 したがって, 求める曲線の方程式は y=logx+1 部分積分法 Se⭑dx=e'+C x>0 であるから |x|=x f(e)=2, loge=1 PRACTICE 119 (1)x>0 で定義された関数 f(x) はf'(x)=ax- (αは定数),f(1)=a, f(e x を満たすとする。 f(x) を求めよ。 〔名 (2) 曲線 y=f(x)上の点(x, y) における接線の傾きが2であり,かつ,この が原点を通るとき,f(x) を求めよ。 ただし, f (x)は微分可能とする。

（2）のc1をcにするとこがよくわからないです

日本 例題 118 次の不定積分を求めよ。 指数、対数関数の不定積分(置換積分法) 00000 193 (2) √(x + 1)² dx e3x p. 180 基本事項 3 logx (1)x(logx+1)2 dx CHART & SOLUTION 対数関数の積分 丸ごとの置換あり x = (logx)'を利用して置換積分できないかと考える。 logx+1=t (丸ごと置換) とおくと 1dx=dt x (2)ef=t とおいてもよいが, ex+1=t とおく方が計算がらく。 (1) logx+1=t とおくと よって logx Sx108 logx=t-1, /dx= -dx=dt dt x dx Jx (logx+1)=dx = Stat =S(1/1) dt 5章 13 不定積分 =log|t|+1+C =log|logx+1|+- 1 +C logx+1 dt ←e*=- dx (2) ex + 1 =t とおくと ex=t-1, exdx=dt よって 23x Se² + 1)² dx = (t=1)² dt S -S(1-1+1/2) dt =t-210g|t|-1+C やる魂の =e*+1-210g(e*+1)-x+1+Ci =e*-2log (e*+1)-1+C exdx=ex.exdx =(t-1)2dt ex+1>0 1+C を改めてCとおく。

なぜx^₄とかは積分できるのにcosx^2とか三角関数になると、次数を下げないと積分できないのですか

5章 13 9/16 日本 例題 116 三角関数の不定積分 (1) (次数を下げる ) 不定積分を求めよ。 Scosxdx 次の CHART & SOLUTION (2) Ssin³xdx 0000 (3) Ssin3xcos2xdx 数学Ⅱ p.224 まとめ, 重要 127 三角関数の積分 次数を下げて,1次の形にする 2倍角の公式 (2)3倍角の公式 (3) 積和の公式 を用いて式変形すると, sin や cos の1次式の和になり積分できる。 Scos xdx= (1+cos2x)dx=1/2x+1/1sin2x+C (2) sin3x=3sinx-4sinx から sin x=1/12 (3sinx-sin3x) Ssin'xdx=/12 (3sinx-sin3x)dx 3 =-cosx+ cos 3x + C (1) fsin 3.x cos2xdx = 1/2/ 4 12 12S (sin5x+sinx)dx 1 10 - 1 -cos5x- cosx+C 2 (2)は、置換積分法によって次のように計算する方法もある。 COSx=t とおくと -sinxdx=dt 2倍角の公式 cos 2x=2 cosx-1 から cos'x=1+cos2x 2 ← 3倍角の公式から。 ◆積→和の公式 sin3xcos2x =1/12 (sin(3x+2x) +sin(3x-2x)} (p.192 基本例題 117, p.195 重要例題120 参照) よって fsin'xdx=fsinx sinxdx=f(1- sinxdx=f(1-cos'x) sinxdx=f(1-F)(-1)dt 10/23t+C=1/23cosxcosx+C X- (2)の結果と違うように見えるが, 3倍角の公式 cos3x=-3cosx+4cos'x を用いて 計算すると,これらは同じ関数であることがわかる。 不定積分

積分計算です (2)教えてください

[60 [2019 京都大] 次の定積分の値を求めよ。 x (1) -dx COS'x (2) A dx COS x

(1)はなぜ絶対値をつけるのですか

102 6/24 基本 例題 58 対数微分 次の関数を微分せよ。 x+3 (2) y=xx+1(x>0) (1) y=1/(x+1) CHART & SOLUTION 対数微分法 両辺の対数をとって微分する 山形大) 基本 57 両辺の絶対値の自然対数をとると 積和商→差が乗が倍となるから微分 の計算がスムーズにできる。 その際, yはxの関数であるから,合成関数の微分法 (基本例 50 参照)から (logy)=log/y=log/y.dy_1 dx y=y dx y J' dy であることに注意する。 このような微分法を対数微分法という。 (1) 真数は正でなければならないから, 絶対値の自然対数をとる。 (2)(x+1)=(x+1)x* は誤り! y=f(x)(x) (f(x)>0) の形なので、両辺の自然対数を とると logy=g(x) logf(x) 解答 この式の両辺をxで微分する。 (1)→する (1)両辺の絶対値の自然対数をとると両の奴を出て x+3 log (x+1)3 =log| ||x+3|| \\x+13 次の関数を Q (1) y=e5x 9(4) y=eco CHART & 指数関数の微 上の公式を用い (1)(2)合成関 解答 (1) y'=e5x. =5e5x (2)y'=2x( =-2- (3)y'=(x)' =3+. log|y|== (log|x+3|-310g|x+1|) =3(x 両辺をxで微分すると (4)y'=(ex x = 3(x+3x+1)=5 (x+3)(x+1) 1 x+1-3(x+3) 両辺にyを掛ける前に =exco y 右辺を整理しておくと =ex(c 2(x+4) 5(x+1)(x+3) x+3 よって y= (x+1) 2(x+4) 5(x+1)(x+3) 2(x+4) 5(x+1)(x+1)(x+3)4 ex>0であるから y>0 よい。 (5) y'= (e3 y=2(x+3) +y'= −2 (x+3) 2. 25 (x+1) x+4 X (x+1)(x-l x+4 (x+1) f(x) 3e3 3x POINTER よって, 両辺の自然対数をとると logy=(x+1)logx 両辺をxで微分すると y y = 1.logx+(x+1). 1 = 10gx+1+ 1 +(fg)'=f'g+f えに y= (logx+ 1 x +1mx+1 XC XC CTICE 582 個数を微 PRACTICE 次の画