-
![]()
-
![]()
10章 空間のベクトル
列題 405
2つの球面の交線と交線を含む平面の方程式
2つの球面(x-1)?+(y-2)?+(z+1)°=5,
(x-3)?+(y-1)+(a+3)=2 について,
(1) 2つの球面が交わってできる円Sの半径と中心Dを求めよ
(2) 円Sを含む平面の方程式を求めよ。
(1) 中心間の距離と2つの球面の半径より,右の図の△ACD,
ABCD に注目して三平方の定理を利用する. ()
(2) 求める平面上の任意の点を P(x, y, z) とすると,
ABIDF または DP30 より, AB·DP=0 0
これより,x, y,
また,次のように考えてもよい。
(別解1) 2つの球面が交わるとき,方程式を
(xーx)+(y-y)+(z-z)°=r?
(xーx)+(y-y)+(z-2a)?=r2…2
とすると,(x-xi)。+(y-y)?+(z-2i)-n?
+k{(x-x)?+(yーy2)?+(z-2)?-r3}=0 は,
(i) kキー1 のとき, ①と②の交線を含む球面の方程式
(i)k=-1 のとき, ①と②の交線を含む平面の方程式
となるので,k=-1 を代入する. 交
お(別解2)AB=(2, -1, -2)は円Sを含む平面の法線ベクトルだから, 平面の
方程式は,
と表される。これが点Dを通ることから×, y, zの方程式を導く。
考え方
'B
DA
2の方程式を導く。
0
)を
P
X.J,2)
HB
DV
だ
2.x+(-1).y+(-2)·z=d(dは定数)
(1) 2つの球面の中心を A(1, 2,-1), B(3, 1,-3)
とおくと,中心間の距離は,
AB=(3-1)+(1-2)?+(-3+1)?=3…①
2つの球面が交わってできる円S上の点をCとする
と,円Sを含む平面と直線 AB との交点は円Sの中心
Dとなり,円Sの半径は CD となる。
AD=t とおくと, ①より,
△ACD, ABCDについて, 三平方の定理より,
CD°=AC?-AD°35-t
CD°=BC?-BD=2-(3-t)
2, 3より,
よって, ②より, 円Sの半径は,
また,AD:DB=2:1 より, Dは線分 AB を2:1に|CD=1 (CD>0)
内分する点だから,
解答
5
A
DX3-t
魚中
BD=3-t
マCDE CD
AACD, ABCDは
ともに直角三角形
BAL+AO
2②
(。1S.1
5-2=2-(3-t)。 これより,
-90-3
t=2
CD°=5-2°=1より、
点A(a, as
B(b,, be, b) を結に
「線分 ABをm:nに
内分する点の座標に
, Os)
1·1+2·3 1·2+2·1
2+1
2+1)10
2+1
7
4
D
3' 3'
より,
7
3
ー31-1Sa nast mb、
m+n
DE-SSD-3
