10章 空間のベクトル
列題 405
2つの球面の交線と交線を含む平面の方程式
2つの球面(x-1)?+(y-2)?+(z+1)°=5,
(x-3)?+(y-1)+(a+3)=2 について,
(1) 2つの球面が交わってできる円Sの半径と中心Dを求めよ
(2) 円Sを含む平面の方程式を求めよ。
(1) 中心間の距離と2つの球面の半径より,右の図の△ACD,
ABCD に注目して三平方の定理を利用する. ()
(2) 求める平面上の任意の点を P(x, y, z) とすると,
ABIDF または DP30 より, AB·DP=0 0
これより,x, y,
また,次のように考えてもよい。
(別解1) 2つの球面が交わるとき,方程式を
(xーx)+(y-y)+(z-z)°=r?
(xーx)+(y-y)+(z-2a)?=r2…2
とすると,(x-xi)。+(y-y)?+(z-2i)-n?
+k{(x-x)?+(yーy2)?+(z-2)?-r3}=0 は,
(i) kキー1 のとき, ①と②の交線を含む球面の方程式
(i)k=-1 のとき, ①と②の交線を含む平面の方程式
となるので,k=-1 を代入する. 交
お(別解2)AB=(2, -1, -2)は円Sを含む平面の法線ベクトルだから, 平面の
方程式は,
と表される。これが点Dを通ることから×, y, zの方程式を導く。
考え方
'B
DA
2の方程式を導く。
0
)を
P
X.J,2)
HB
DV
だ
2.x+(-1).y+(-2)·z=d(dは定数)
(1) 2つの球面の中心を A(1, 2,-1), B(3, 1,-3)
とおくと,中心間の距離は,
AB=(3-1)+(1-2)?+(-3+1)?=3…①
2つの球面が交わってできる円S上の点をCとする
と,円Sを含む平面と直線 AB との交点は円Sの中心
Dとなり,円Sの半径は CD となる。
AD=t とおくと, ①より,
△ACD, ABCDについて, 三平方の定理より,
CD°=AC?-AD°35-t
CD°=BC?-BD=2-(3-t)
2, 3より,
よって, ②より, 円Sの半径は,
また,AD:DB=2:1 より, Dは線分 AB を2:1に|CD=1 (CD>0)
内分する点だから,
解答
5
A
DX3-t
魚中
BD=3-t
マCDE CD
AACD, ABCDは
ともに直角三角形
BAL+AO
2②
(。1S.1
5-2=2-(3-t)。 これより,
-90-3
t=2
CD°=5-2°=1より、
点A(a, as
B(b,, be, b) を結に
「線分 ABをm:nに
内分する点の座標に
, Os)
1·1+2·3 1·2+2·1
2+1
2+1)10
2+1
7
4
D
3' 3'
より,
7
3
ー31-1Sa nast mb、
m+n
DE-SSD-3
(2) 円Sを含む平面上の任意の点をP(x, y, z)とすると,
3
空間のベクトルの応用
DF-(x-部ソー島とる)
715
7
4
3
3
. AB=(2, -1, -2) であり, ABIDP または
DP=0 より,
AB-DF=2-
これを整理して, 6x-3y-6z=24
よって、円Sを含む平面の方程式は、
3
((x-1)?+(y-2)?+(z+1)?=5 ·)
1 (x-3)?+(y-1)?+(z+3)?=2
とおく、また, 球面のと⑤の中心間の距離が 3, 半径が、「5 と、2で。
5-/2<3<、5+V2 より, ④, ⑤は交わる。
2x-y-2z=8
(別解1)
y,2)
第10。
+k{(x-3)°+(yー1)+(z+3)-2}=0
とおくと,2つの球面④, ⑤は交わるから, ⑥は,
kキー1 のとき, ④と⑤の交線を含む球面の方程式
k=-1 のとき, x, y, zの1 次式となり, ④と⑤の交線を含む平面の
6
方程式
を表す。
よって,k=-1 を代入して整理すると, 円Sを含む平面の方程式は,
面の
2x-y-2z=8
(別解2) AB=(2, -1, -2)は円Sを含む平面の法線ベクトルであるから,
平面の方程式は,
2.x+(-1).y+(-2)·z%3Dd (dは定数) の
とおける。
m
7
ここで,この平面は点DG,-)を通るから,⑦に代入して、
3
3'
3
d=2…
3
=8
にあり
よって,円Sを含む平面の方程式は, ⑦より, 2.xーy-2z=8
(認)
つは
Focus
2つの球面の中心を A, B, 球面が交わってできる円の中心を D,
円を含む平面上の任意の点をPとすると、
ABIDP または DP=0 だから, AB·DP=0
より,
as).
結ぶ
2つの球面 (x-1)?+(y-1)*+(z+2)°=25, (x+1)*+(y+2)°+(z-4°=32
2つの球面が交わってできる円Sの半径と中心,円Sを含む平
の点A(3, 3, 5)における接平面の
nに
際は,
405
について
ことである。
点Pは平面上にあるだけなので必ずしもABと垂直にはならなくないですか？という意図で質問しました…(--;)
分かりづらくてすみません…