教えて欲しいです。

4】 関数 f(x) = sin (asin(bx)+c) の導関数を求めなさい。

227. 記述式でこれらの問題を解くならば、Cを用いた時に （Cは積分定数）と書いた方がいいですか？？

基本例題227 導関数 接線の傾きから関数決定 (1) f'(x)=3x2-2x, f(2) = 0 を満たす関数 f(x) を求めよ。 (2) 曲線 y=f(x) が点 (1, 0) を通り, 更に点 (x, f(x)) における接線の傾き 2-1であるとき, f(x) を求めよ。 指針▷ 導関数がわかっているとき,もとの関数を求めるのが積分である。つまり f(x)=f'(x)dx (1) f(x)=f(x)dx=f(x-2x)dx=x-x+C 積分定数 C は f(2)=0の条件で決まる。 このような積分定数の値を決定する条件のこ /d=x√(x)] +// とを初期条件という。 f(x)=x2-1 +A (2) 曲線 y=f(x) 上の点 (x, f(x)) における接線の傾きは C f(x)=f'(x)dx=f(x-1)dx したがって また, 曲線 y=f(x) は点 (10) を通るから 解答 (1) f'(x)=3x2-2x であるから !! f(x)=f'(x)dx=Ş(3x²-2x)dx=x-x+C 2043 f (2) = 0 であるから これを解いて したがって f(x)=x-x-4 (2) 曲線 y=f(x) 上の点(x, f(x)) における接線の傾きは f'(x) であるから f'(x)=x2-1 f(x)=f'(x)dx=f(x2-1)dx したがって ゆえに したがって また, 曲線 y=f(x) は, 点 (1, 0) を通るから ƒ(1)=0 -1+C=0 1 3 8-4+C=0 C=-4 f(x)= (1600) -x+C (Cは積分定数) 3 3 f(1)=0 初期条件 (Cは積分定数) ROVED -x+ 2 3 よってc=1/23 C= 一 検討 一般に,f'(x) の不定積分は 無数にあるが、 定数だけ 違わない。 よって,(1) (2)=0 のよう な条件が与えられると、 定数Cの値が定まる。 (2) 基本226 接線の傾きが-1で与 えられる曲線は無数にある そのうち点 (10) ものはただ1つに定まる。 34 C=1 C=0 0

225. [2]に増減表がないのは[2]においてf'(x)≧0よりf(x)が単調増加であることがわかったからですか？？ ところで、f'(x)>0であれば単調増加と習いましたが、 f'(x)≧0でも単調増加なのですか？？ また2つの増減表のx=0のときのf'(x)に0と書い... 続きを読む

を通る た、その 鹿児島大 演習 223 (t) (x-t) 219 参照。 すると き, t = 0, [v[0] 極大,他方で のとき ると √3 3 演習 例題225 不等式が常に成り立つ条件(微分利用) 00000 aは定数とする。 x≧0 において,常に不等式x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう にαの値の範囲を定めよ。 のとき 指針>f(x)=x-3ax2+4aとして, f(x)=0 とすると x=0, 2a 求める条件は,次のことを満たすαの値の範囲である。 (1) 「x≧0 におけるf(x) の最小値が正である」 検討 参照。 [1] 2α < 0 すなわち α<0のとき x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよう になる。 ①を満たすための条件は したがって a>0 [x≧0 におけるf(x) の最小値] > 0 となる条件を求める。 導関数を求め,f'(x)=0 とすると x=0, 2a 02a の大小関係によって, f(x) の増減は異なる から 場合分けをして考える。 解答 f(x)=x²-3ax2+4a とすると f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a) ①を満たすための条件は 4a>0 これはα<0に適さない。 [2] 2a=0 すなわち α = 0 のとき f'(x)=3x2≧0, f(x)は常に単調に増加する。 f(0)=4a>0 これは α=0 に適さない。 よって a>0 [3] 20 すなわち a>0のとき x≧0 におけるf(x) の増減 表は右のようになる。 ①を満たすための条件は -4a³+4a>0 0 -4a(a+1)(a-1)>0 a(a+1)(a-1) <0 a<-1,0<a<1 ゆえに よって これを解くと 0<a<1 a> 0 を満たすものは [1]~[3] から,求めるαの値の範囲は 0 2a 20 0<a< 1 2a<0 x f'(x) + f(x) 4a A 2a=0 N2N 70 x i0 2a x x f'(x) + f(x) 4a-4a³+4a 7 2a0x 基本220 [注意] 左の解答では, [1] 2a<0, [2] 2a=0, [3] 2a>0 の3つの場合に 分けているが, [1] と[2] を まとめ, 2a≦0, 2a>0 の場 合に分けてもよい。 なぜなら, 2a≦0のとき, x≧0では f'(x)≧0 であるから,x≧0 でf(x) は 単調に増加する。 ゆえに,x≧0 での最小値は f(0) =4a である。 実際に左 の解答の [1] [2] を見てみ ると,同じことを考えている のがわかる。 + a (a+1)(a-1)の符号 0/-1 0 0 < a>0のとき 0<2a a(a+1)>0 ゆえに a-1 <0 としてもよい。 343 6章 38 3 関連発展問題

225. [2]で、f(x)は常に単調増加する、というのは 「x≧においてf(x)は常に単調増加する」ということですよね？ y=x^3は極値は持たないけど単調増加でも単調減少でもないですよね？？

t)(x-t) その 鹿児島大 演習 223 道 219 参照。 すると き, t = 0, [u [の] ~極大,他方で引 のとき ると 3 演習 例題225 不等式が常に成り立つ条件(微分利用) 0000 aは定数とする。 x≧0 において,常に不等式 x-3ax²+4a>0が成り立つよう にaの値の範囲を定めよ。 のとき 指針f(x)=x-3ax2+4aとして, 検討参照。 [1] 2a < 0 すなわちα<0のとき (神号同側) [x≧0 における f(x) の最小値] > 0 となる条件を求める。 導関数を求め,f'(x)=0 とすると x=0, 2a 02a の大小関係によって, f(x) の増減は異なる から 場合分けをして考える。 解答 f(x)=x-3ax2+4a とすると f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a) ......... f(x)=0 とすると x=0, 2a 求める条件は,次のことを満たすαの値の範囲である。 「x≧0 におけるf(x) の最小値が正である」 ・・・ (1) ①を満たすための条件は x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよう になる。 ① を満たすための条件は したがって a>0 これはα<0に適さない。 [2] 2a=0 すなわち α = 0 のとき f'(x)=3x2≧0, f(x)は常に単調に増加する。 f(0) = 4a>0 4a>0 よって a>0 [ [3] 20 すなわちa>0のとき x≧0 におけるf(x) の増減 表は右のようになる。 ①を満たすための条件は -4a³+4a>0 これはα=0 に適さない。 20 f'(x) f(x) 4a -4a(a+1)(a-1)>0 a(a+1)(a-1) <0 a<-1,0<a<1 ゆえに よって これを解くと 0<a<1 a> 0 を満たすものは [1]~[3] から,求めるαの値の範囲は 2a<0 x 0 f'(x) + f(x) 4a > 2a 0 -4a³+4a 0<a< 1 1 /1 NJ 2a0x + 2a=0 242x-x 16 がx≧0 に対して常に成り立つ - -1 [注意] 左の解答では, [1] 2a<0, [2] 2a=0, [3] 2a>0 の3つの場合に 分けているが, [1] と[2] を まとめ, 2a≦0, 2a>0 の場 合に分けてもよい。 なぜなら, 2a≦0のとき, x≧0では f'(x)≧0 であるから, x≧0でf(x) は 単調に増加する。 ゆえに,x≧0 での最小値は f(0) =4a である。 実際に左 の解答 [1] と [2] を見てみ ると,同じことを考えている のがわかる。 + a (a+1)(a-1)の符号 0 基本220 < a>0のとき a(a+1)>0 0<2a 02ax ゆえに a-1 <0 としてもよい。 1 a 343 638 関連発展問題 6章

n階導関数の問題なのですがわかる方教えてください。

(2) f(x)=e_w C²J03 (0)11 (0) ƒ'(0) = ta IS !! (0) (^~~) 1(I-st) f'(x) = f"(x) = Ist f" (0) = sjf''(0)= Lov

回答あるけど式がないのでわかる人はノートに解いて送ってください。テスト一週間前です。

3(-a+h)²-3a² 357 次の極限値を求めよ。 ただし,αは定数とする。 h lim h→0 358 次の極限値を求めよ。 x2+4x (1) lim x-4x+4 x+2 (3) lim x-2x²-4 (2) lim*³-1 x1 x-1 x2+x-12 x→3x2-x-6 *(4) lim 0359 関数y=x2+ax のグラフ上の, x座標が1である点における接線の傾きが 4 であるとき,定数aの値を求めよ。 □ 360 関数f(x)=2x2-5x+6の,x=aからx=a+1までの平均変化率 m が, x=1における微分係数と一致するとき,定数aの値を求めよ。 第6章 □361 f(x)=x2-4x+5とする。 関数 y=f(x)のグラフ上の2点 (2, f(2)), (4, f (4)) を結ぶ直線の傾きが点(a, f(a)) における接線の傾きに等しい とき α の値を求めよ。 微分法と利シ

(5)と(6)途中式含めて教えてください。

-0 次の関数の第2次導関数, 第3次導関数を求めよ。 (2) y=x³+x² (5) y=log2x 練習 18 (1) y=x5 (4) y=e=x (3) y=cosx (6) y=xe*

練習32の問題の解説をお願いします🙏 dx分のdと、∫０からXのところが答えの途中でどうなるのか教えて欲しいです🙇‍♀️

198 第6章 微分法と積分法 練3 はxの関数である。 右辺の関数をxで分すると F'(x)−(F(a)) = f(x) 5 となるから,次のことが成り立つ。 aは定数とする。 関数 f(t) に対して (= f(t) のとき,定積分 S*f(t)dt = F(x)-- Fes 練習 32 aを定数とするとき、xの関数 Sof(t)dtの導関数 f(x) である。 d*f(t)dt = f(x) (5) すなわち a 上端がxで, 下端が定数 α a xの関数 S (32-2t-1) dt の導関数を求めよ。 F(a)は定数である から (F(a))'=0

？の部分の式が理解できません！！

式あ で 0のとき e B) ") :-) 1指針 441 dはf(0) と一致する。 c は f'(0) と一致する。 a b の符号は,導関数 f'(x)のそれぞれの2次 1次の項の係数の符号と一致する。 f(x)=ax+bx+cx+d とする。 f'(x)=3ax2+2bx+c このとき 図より, f(0)>0であるから d>0 また,f'(0) = c であり, 図より, 曲線 y=f(x) のx=0 における接線の傾きは負であるから c<0 図より,この3次関数は極値を2つもち, 極値 をとるxの値の符号はどちらも負である。 よって, 方程式 f'(x) = 0 は異なる2つの実数解 をもち,それらをα, β(a <B) とすると, f(x) の増減表は次のようになる。 f'(x) f(x) α == 0 極小 増減表とα<β<0より, y=f'(x)のグラフは右 図のような上に凸の放 物線となるから a <0 y=f'(x)のグラフにつ いて, 頂点のx座標は b 1 3a + B 0 極大 : 1 csonyt の①対 頂点のx座標は負であるから-- ここで, a<0であるから b<0 以上より,それぞれの符号は DESCO α SB X b 3a α: 負, 6: 負,c: 負.d: 正 <0

これがわかりません。教えて下さい。 微分積分学です。

15:28 次のアおよびイと よびイとして適切なものを選択 肢から選べ 1変数関数f(x),g(x) は微分可能で,その導 関数f'(x), g'(x)は連続であるとする. ま た,2変数関数h (t,s) は偏微分可能で, Əh Əh (t, s), - (t,s) はともに連続であると as at する.このとき,合成関数z = f(h(t,s)) の tに関する偏導関数は である.また,合成関数 w= = h(f(x),g(x)) の導関数は である. 7:90X イ: 3 ㎝ x ●選択肢 əz at Əh f'(0) (t,s) at Oh at f'(h(t, s)). Oh at dw dx Oh Ət ア Oh ⑩ f'(h(t,s)) (t,s) as Oh at イ Əh dt (t, s) -(f(z),g(x))f*'(z) + ah ① f'(0) (t,s) as (f(x),g(x))(f'(x)+g'(x)) (3) Əh as as dh Ət Oh as (f(x), g(x))ƒ'(x) (f(z),g(x))(f'(z)+g'(r)) Əh as Oh (f(x),g(x))(f'(x)+g'(x)) + (f(x),g(x))(f'(x)+g'(x)) as all? (f(x), g(x))g'(x) ah (f(x),g(x))f'(0) + -(f(x),g(x))g' (0) (f(x), g(x))g'(x)