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!=kとおく。 → y+1=Dk(x-5)… ③ より, 傾きん,点 (5, -1)を通る直線
の最大·最小は,b _1kとおいて定点 (a, b) を通る直線の傾きに着目せよ
例題125 領域における最大·最小[3]…ーa
例題
あ
(x, y)が連立不等式 x+yー4(x+y)+7<0 …O, x+y23 2.
を
y+1
の最大値,最小値を求めよ。
(立教大)
満たす領域を動くとき,
x-5
図で考える
I.条件の連立不等式を満たす領域Dを図示する。
y+1
I.
x-5
傾きの最大値,最小値を求めることになる。
I, 領域Dと共有点をもつように, 直線 ③ の傾きを変化させて,
傾きが最大·最小となるときを考える。
CnoinA
yー6
Action》
x-a
x-a
*まず,(x, y) が動く領域
Dを図示する。
円(x-2)°+(y-2)*=1
と直線x+y=3は、
2点(1, 2), (2, 1)で交
わる。
ア-0のときのよの値で
考える。
(x-2)?+ (y-2)ハ1
解0を変形すると
連立不等式の,②が表す領域 D
は右の図の斜線部分。ただし,境
界線を含む。
y+1
49
2
1
ここで,
=k とおくと
x-5
0|
2
3
x
y+1= k(x-5)…③
3は,定点(5, -1) を通り, 傾きがんである直線を表す。
ただし,xキ5より点(5, -1)を除く。
(ア) kが最大となるのは, 直線 ③
が点(2, 1)を通るときで,
1
1分母は0でないから
x-5キ0
よって xキ5
直線3と図の領域が共
有点をもつような範囲で、
\.od傾きんの最大, 最小を調
べる。
1+1
2
2
最大値は k=
2-5
3
1
5x
(イ) kが最小となるのは, 直線③
が円(x-2)?+(yー2)? =1 と
接するときである。
③は kx-y-5k-1=0 となるから
0
-1
123
*x=2, y=1 を代入する。
円の中心(2, 2)と直線
3の距離が半径1に等し
|2k-2-5k-1|
+1
い。
=1より
-9土(17
k=
分母をはらうと
13k+3| =屋+1
両辺を2乗すると
9°+ 18k+9=+1
4k°+9k+4=0
8
このうち,接点が領域 D内にあるのは k=
-9-17
8
(ア), (イ) より
最大値
2
最小値
9-17-
3
8
練習125(x, y) が連立不等式
リー4
S ー
思考のブロセス
思考のプロセス
