a,b*1- 2am+1bm+ 36m+1=0 (n=1, 2, 3, …)……①
) 数列 (an}は,初項3,公差p(+0)の等差数列であるから
標準 数列 (等差数列,等比数列,漸化式》
(第1日程)(解答) 45
第4問
n+1
3
+(n-1)p →ア ②
a,ミ
an+1=3+ np
分
b,=
3 rリー1
→イ
レおされる。rキ0により,すべての自然数nについて, b,+0となる。①の両辺
をb。で割ることにより
a,ba+
3bm+1
=0
b。
- 2am+1+
bm
ケ
ba+1=rであるから
bm
ran-2am+1+3r=0
2a+1=r(an+
が成り立つことがわかる。④に2と③を代入すると
2(3+ np) =r{3+ (n-1)p+3}
6+2pn=6r+rpn- rp
:(rー| 2)pn=r(p-_6
となる。⑤がすべてのnで成り立つことおよびp+0により, rー2=0すなわち
ア=2を得る。さらに,このことから
0=2(p-6) +6
3 ) →ウ, エ
6
→オ,カ, キ …6 さ金
p= 3
→ク
を得る。
以上から,すべての自然数nについて, anと b,が正であることもわかる。
(2) p=3, r=2であることから, {an}, {b.} の初項から第n項までの和は, それぞ
れ次の式で与えられる。
こa=23+(k-1)×3}=X3k=3>k=3× n (n+1)
k=1
k=1
k=1
k=1
3
-n (n+ 1 ) →ケ, コ, サ
2
こ=23×2-1 =3Z2*-1=3(1+2+2°+…+2"-1).
k=1
k=1
k=1
=3× -3 (2"-1) →シ, ス
=3×2-1
2"-1
II
