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基本例題 116 無限級数の収束、発散
次の無限級数の収束 発散について調べ, 収束すればその和を求めよ。
1
1
(2)
√1+√3
√3+√5
∞
(1) Σ
1
n=1 (2n+1)(2n+3)
Sn=
1 基本事項
指針▷ 無限級数の収束、発散 は 部分和 S, の収束,発散を調べることが基本。
Zan が発散⇔ {S} が発散
8
Zanが収束⇔
が収束
{Sn}
n=1
解答
第n項 an までの部分和をSとする。
1
(1) an=
□ よって
amilTun
|_n=1
(1) 各項の分子は一定で, 分母は積の形→各項を差の形に変形(部分分数分解)する
ことで,部分和 Sn を求められる。
(2) 各項は
√√n+√√n+2
CHART 無限級数の収束 発散 まずは部分和S” の収束・発散を調べる
/1
1
=
= 1/² ( ²3² - 27²+3)
2
であるから
=
12 (分数式) のときは, 部分
(2n+1)(2n+3) 22n+1 2n+3 ) であるから
分数分解によって部分和を
1/11(1/1/8-1)+(-1)+(277-273) 求めることが有効。
なお, α=bのとき
lim S=1/12/11/13-0)=1/10
n→∞
+
LATRONE
の形→ 分母の有理化によって各項を差の形に変形する。
よって
ゆえに,この無限級数は収束して、その和は1/3である。
√n+2=√n
(2) an=
√n+√n+2
(n+2)-n
1
√2+√4
limSn=∞
2n
=
1
Sn={(√3-√ī) + (√4-√2 ) +…....
n→∞0
ゆえに、この無限級数は発散する。
=
1/2 (√2+1+√n +2 -1 -√2)
1
// (√n+ 2 = √n)
2
2
麦わらないと+ (n+1-√n-1)+(√n+2-\)}
+
1
(n+a)(n+b)
=
·+...
1
(
b-a\n+a n+b
12400
1
分母・分子に
1lim√n+1=∞,
n
+2√を掛ける。
消し合う項・残る項に注意。
