要 例題
00
00000
|満たす最小のnを求めよ。 ただし, log10 2=0.3010 とする。
数列{an} は初項1, 公比5の等比数列である。 ata2+..+α≧10100 を
[ 学習院大 ]
p.467 基本事項 3. 基本 86
SOLT
OLUTION
CHART
等比数列の和
対数の利用・････
不等式の左辺を計算して整理すると 5"≧4・10100+1
このままでは,nの値を求めるのは難しい。 そこで, 対数 (数学IIの内容)を利用
するとよい。
in de
なお、54･10100 +1 のままでは,両辺の常用対数をとっても右辺の計算がうま
くできない。そこで,nが自然数のとき 5"≧4･101 +1 と 5">4･1000 は同値で
あるから,54･10100 の両辺の常用対数をとって計算するとよい。
1･(5″-1)_
+ a₂ + + an²
1/12 (5
-(5-1)
125-1
4
S₁= a(n-1)
10*$0.2
300-r-1
って、与えられた不等式から
(5"-
(5″-1)≧1010 |
0
して
5" ≧4・10100 +1
_, 5">4・10100 を満たす最小の自然数nを求めればよい。
この常用対数をとると
nlog10 510g104 +100
100 2 x
n (1-10g102) >210gio 2+100
2=0.3010 であるから
0.6990n> 100.6020
て
100.6020
n>
0.6990
-=143.9.
こ, n ≧144 のとき 5">4・101 が成り立つ。ol
がって 求める最小のnの値は
n=144
右辺を1少なくしても、
式の形からnに影響
及ぼさない。
10g105"=nlog105,
10g104.10100
= 10g104 +10g1010100
= 210g10 2+100,
10
10g105=10g10
2
(„s) RAHOO [= log₁0 10-log
=1-10g102
■ 5” は単調に増加する。
199
