OQ＝PQになるのは何故ですか？

240 第3章 図形と計量 例題 141 球と接する立体 右図のように、 底面の一辺が長さ2の正方形,側面の ○ 4つの三角形がすべて二等辺三角形である正四角錐 HO OABCD がある.また, 球 S はこの正四角錐の5つの 面と接し,球S2 はこの正四角錐の4つの面と球Sに 接している. 球S と S2 の半径の比が2:1のとき, 正四角錐 OABCD の高さを求めよ. 若半 0 B 考え方 辺AD,BCの中点をそれぞれ M, N とし, 平面 OMN で切った切断面を考える. anoronz ■解答 球 S, S2 の中心をそれぞれP Q とし 半径をそれぞれ1, 2 とする Focus AD, BCの中点をそれぞれ M, )また,辺 34 Nとし, この正四角錐 OABCD を平面 OMN で切ったときの切断面を考え, 球S1, S2 と辺OM の接点をそれぞれK, Lとし, 球 S1 と辺 MN の接点をHとする。 球 Si と S2 の半径の比は2:1より, r₁=2r₂ TE M OQ ここで,0°<0<90°より, cos0 >0 だから, sin O 1 したがって cos 2√2 HO tan0= よって, また, OPKSOQL であり, 相似比は2:1 よって, 0Q=PQ=n+1=2r+r2=3/2(金) また,∠QOL=0 とおくと, OH=- また, MH=1/12MN=121AB=1 MH tan 0 10 1 = 2√2 HO 2√2 12 L Kri = Q sine=QL r2_1 312 3 P H COS = 小中心 3 -2√2 N 2√2 3 M H K **** 0 S₁ 空間図形については、切断面で考える 切断をする際は,どの平面で切ると楽になるかを考える Q ri sin20+cos20=1 tan 0= MH OH

何で重解から考えるんですか？

282 第4章 関数の極限 Check 例題124 無理関数のグラフと直線 ･･① のグラフと直線y=x+k•••••• ② との共 関数 y=√2x-1 有点の個数を調べよ.ただし,k は実数の定数とする. 考え方 まず無理関数 y=√2x-1 のグラフをかく. 次に,kの変化に応じて,直線を動かして考える. 直線を上から下に平行移動するとき, 次の2つに注意 すれば、共有点の個数の変化がつかみやすくなる。 ① 曲線 ①と直線②が接するときのんの値 図] 直線②が曲線 ①の端点 (121, 0) を通るときのん CARAC の値 つまり,①を境として共有点の個数が 850 0個→1個→2個 を境として共有点の個数が 2個→1個 解答 ①のグラフは右の図のように なる. na まず①,②のグラフが接する ときのんの値を求める. ① ② より 両辺を2乗すると, Focus √2x-1=x+k k</1/2,k=0のとき. 2' <0 のとき, 共有点の個数はグ を対称軸とす とそれぞれ変化する. 2 YA 34+05-\ flampa 1- 845 VAS Ø 1 1 MX 2 2個 (2) (1) 48 2x-1=(x+k)2 より, x2+2(k-1)x+k²+1 = 0 LEDS この方程式の判別式をDとすると, 重解をもつから, D =k-1)-(k²+1)=-2k=0 より, k=0 次に、直線②が点 ( 12.0)を通るときのたの値を求める。②にx=yal を (☆) 0= 1/2+kk), k=- 代入する. 2 以上より, ①,②のグラフの共有点の個数は, >0のとき、 0個 1個 eta + (a y=√2x-1 y=x+k 2 y=√/2x-1 ①のグラフと数本の 当な②のグラフをかく y = √(√2(x - 1) ①のグラフは y=√2x のグラフを x 軸方向に1/だけ 行移動したもの 接する重解をもつ ⇔D=0 グラフで確認する。 ん の値の減少により、 ②は下方に平行な動 る.

新高一です。 高校でフォーカスゴールドが配布されたのですが、フォーカスゴールドは同じ網羅系の問題集で、中学校の物で例えると新中問の発展編のようなものですか？ レベルはもう少し高いですか？

答えがx≦-1、5≦xになってますが、両方に「=」をつける必要はありませんよね？ どちらが正しいとかありますか？

134 第3章 方程式と不等式 例題 307 重要 不等式 |x-2|≧3を解け. アプローチ 「絶対値が難しい」 と嘆く諸君が多いのですが, 定義と,その使い方さえきち んとわかっていれば、決して難しくはありません。 すなわち 実数αに対して, lal= a (a>0のとき) 0(a=0のとき)= -a (a < 0 のとき) 解答 注 くりかえしになりますが, |0| =0-0 なので,a=0の場合はa>< のいずれかの場合にも吸収することができます. x-2≥3 :: x≥5. x≥5. ① かつ ① より (ii) x≦2 ･･･ ② のとき x-2(x≧2のとき) |x-2=1-(x-2)(x-2≧0のとき-x+2(x≦2のとき) >x-2でおきかえ x2(x-2≧0のとき) 上の定義で,αを に分けて考 たもの. したがって, (i) x≧2のときと (ii) x≦2のとき える. (i) x≧2 ....①のとき -x≧1 ={_a (0) -a (a≧0のとき) ...102 問 3-5 次の不等式を解け . (1) |2x-1|<2 -x+2≧3 ...... ② :. x≤-1. x≦-1. ② かつ ② より ......2" 求める解は①″ または②" より, x≦-1 または x≧5. Notes 実数a に対し, |a| は, 数直線上, 原点と 点αとの距離を表します. したがって, 実 数ｪに対し,|x-2| は、点 点ェが点2から距離が3以上離れていることを意味します( から,次のようにも解答できます. <x 別解 不等式 |x-2|≧3は直線上で、 点2と点 との距離が3以上であることを意味する. したがっ て 求める不等式の解は右図より または x≧5. (2)|5-3|≧3 2 -1 114 -1 |x-2|≧3は、 と点2との距離を表すので、不等式 このこと p.64). 0 3 5 5 lak-02 2 ★★ 2 3 a BRI 308 アプローチ あります。 その典型例の一 が成り立つことを ここで、左側の りませんが、この が重要です。 a≦0 2r-1<x よって求める解は 注前問3-5 しょう。 研究 実は、 本間は次のよ xy平面上で関数y= グラフをかいて､前者 の値の範囲を求める これについて詳しく

f(x)のa,b,cに代入するところって間違ってますよね？

468 第8章 整数の性質 考え方 **** 2次関数f(x)=ax2+bx+c について,すべての整数nに対して、 - f(n) が整数値をとるためのa,b,c の必要十分条件を求めよ. 解 例題265 整数の応用問題 (1) (4) まずxに適当な値を代入して必要条件を求める. 18. N 文字がa,b,cの3つあるので、3つの値を代入する. 求めた必要条件をもとに逆が成り立てば,十分条件が成り立つ SOYDAS VA () 1 条件より, f(0), f(1), f(-1) が整数値となることが必 要であるから, [f(0) = c より, f(1)=a+b+c lf(-1)=a-b+c ここで,a+b+c, a-b+cは整数で,①より, (a+b, a-bは整数 逆に, ① ② が成り立つとき, cは整数 ① Focus a+b=p,a-b=g(p,g は整数)とおくと, 上の2式をたす ひく. a=p+q b=p-q 2 2 よって, f(x)=ax2+bx+c = (p+q) x ² + (p+q) x + 2 2 =1/2/2x(x+1)+1/2x(x-1)+c- はつねに整数値をとる. よって, 求める必要十分条件は, ₂. f(n) = n(n+1) + n(n-1)-c) o ここで, n(n+1), n(n-1) は連続整数の積より偶数で ある. したがって, 1/2n(n+1), n(n-1)は整数より、f(n) 「ca+b, a-bが整数である｣ ことである. 3つの値 x=0, ±1を 代入する. (mod p 必要条件 ここから、十分条件を 求める. 変数を含む等式の必要十分条件 ⇒ まずは変数に具体的な値を代入して必要条件を求めよ。 5 5.

"考え方"にある"2枚の硬貨では〜保証されない"とはどういうことですか？

考え方 解 Focus 例題 197 確率の定義 (1) 2枚の区別のつかない硬貨を投げたとき,1枚は る確率を求めよ. 練羽 (2) 2個のさいころを同時に投げるとき, 次の確率を求めよ. (ア) 2個のさいころの出る目が同じである確率 (イ) 2個のさいころの出る目が連続している確率 (3)a,b,c を無作為に1列に並べるとき, cが先頭にある確率を求 めよ. 確率では,同様に確からしく起こる事柄を根元事象として, その根元事象の数を n(U) とする.そのうち事象Aの起こりうる数がn(A) のとき,P(A)=n(U) n(A) と 定義する. (1)では,いかに区別がつかなくても, 2枚の硬貨では (表、表), (表,裏), (裏、表) (裏,裏) を根元事象としなければ同様の確からしさが保証されない確率 では,何を根元事象とするかが重要である. また, 0≦n (A)≦n(U) より 0≦P(A) ≧1 である. 100 #4>**01 OP (1) 2枚の硬貨の出方は, (表,表) (表裏) (裏、表) 区別がつかなくても, ( の4通りで,この4つが同様に確からしい. 裏) 区別をつけて、確率を 考える. よって, 求める確率は, SE S (2) 2個のさいころを同時に投げるときの出る目の総数は1個のさいころの目の ● 出方は6通りで,積の 法則を利用する. 2_1 42 6×6=36 (通り) (ア) 2個のさいころの出る目が同じになるのは,(1,1), (22) (33),(4,4),(5,5)(66) の6通りで ある。 1 確率の意味 3 4 6800011 5 (イ) 連続した目となるのは,(1,2),(2,3),(3,4), 6 (4, 5), (5, 6), (6, 5), (5, 4), (4, 3), (3, 2), (2, 1)の10通りである. よって, 求める確率は, よって、求める確率は, chaos 6 1 36 10 5 36 18 (3) 根元事象をabc, acb, bac, bca, cab, cba とみる 2 1 と, cが先頭にある確率は, 6 3 区別がつかないものでも、区別して考える =n(4) n(U) 同様に確からしい根元事象でP(A)= Lesong 2009SOR = 123456 10 x 2 × ○ × XOX XOX XOX XO 357 (ア)は○の6通り (イ)は×の10通り b-c c-b a c ca a-b b-a A の場合の数 全体の場合の数 ger 石

ここってなんでx-4.y＋2にならないんですか

Think 例題 35 平行移動・対称移動 ｢味の環 S. 放物線y=ax²+bx+c をx軸方向に4,y 軸方向に 2だけ平行移動 した後,x軸に関して対称移動したものの方程式が, y=2x-6x-4にな った。定数a,b,cの値を求めよ。 3 y=ax²+bx+c Focus 放物線y=2x-6x-4 をどのように移動すると、もとの放物線y=ax+bx+c に なるかを考える。そのとき、移動の順序に注意する 軸に関して対称 軸方向に 軸方向に 軸方向に-4 軸方向に2 (2) を 軸に関して対称 解答 放物線y=2x²-6x-4.... ① (i) x軸に関して対称移動し, (i) x 軸方向に -4, y 軸方向に2だけ平行移動 すると,もとの放物線になる. (i) ① をx軸に関して対称移動するから, y を -y におき換えて, -y=2x²-6x-4 つまり, y=-2x²+6x+4 ...... ② 1 2次関数の ②をx軸方向に -4, y 軸方向に2だけ平行移 動するから, v-2=-2(x+4)+6(x+4)+4 y=-2x-10-2 ...... ③ つまり, よって, ③が放物線y=ax²+bx+c より, 17 a=-2, b=-10, c= -2 **** (1) y=2x²-6x-4 y=ax²+bx+c y=2x²-6x-4 の逆の移動を考える. x軸方向 4,y軸方向-2」 の逆の移動は 「x軸方向-4, y 軸方向2」 であり,「x軸に関して対称」 の逆の移動は「x軸に関し 対称」である. 標準形にして、頂点の移動 で考えてもよい。 逆の移動は順序が重要 U 注〉 例題 35 のように、 いくつかの移動を行うときは,その順序 を間違えると全く違う放物線になってしまう場合がある たとえば,上の解答で, 放物線 y=2x²-6x-4 を(i)(i)の 順で移動した放物線は, y=-2x2-10x-6. となってしまう. つまり、いくつかの移動を行うときは, そ の順序が大切である. xをx+4, y をy-2 にお き換える. 係数を比較するとなる 3 ((1) YA (ii) (ii) 第2章 (2) (i) x 放物線y=ax2+bx+c をy軸に関して対称移動した後,x軸方向に4,y軸方 ++ BL. 5向に-3だけ平行移動したものの方程式が, y=-x^+3x4にな

直線y＝−2k−2→y座標 放物線y＝xの二乗−（k +3）x +1→x座標 を読み取るという方法では不十分でしょうか。

** 19 p.132 3 2次方程式と2次不等式 169 放物線y=x2- (+3)x+1と直線y=-2k-2 が接するときの定数k の値と,そのときの接点の座標を求めよ。(笑) z (SƏRİ (S)

緑でチェックしてる部分がわからないです。

4. 5. 6. womens / childrens Most students in my class student who speaks seven languages. A. D. A. Maya's studies focus on the import of communication during early child develop B C. D. knows/are know / is knows / is know / are P B. C. D. ment/ hood / ance ance / hood / ment hood/ment / ance ance / ment /hood Brendan has uncle in New Zealand. more than one language. There______________ one cousins in Ireland, some /a/ an some / some / an a /some / an a/a/some sister in England, and

合成関数についてです。 (2)の別解に書かれているh(x)=(g。f^-1)(x) なのですが 何故h(x)=(g。f^-1)(x)になるのか教えて欲しいです。 合成関数を解く時右上の図をイメージしなければ ならないのでしょうか？ (右上の図なくても解けるような気がするので... 続きを読む

例題 128 合成関数 O (1) f(x)=3x+1,g(x)=2x²-2(x)=xのとき,次の合成関数 を求めよ. (ア) (fog) (x) (イ) ((fog) oh)(x) (2)関数f(x)=x+2,g(x)=3x-4 がある. (hof)(x)=g(x) となる 関数h(x) を求めよ. Check 考え方 合成関数は順序を間違えないように注意しよう. (1)()((fog)。h)(x) は, fog=F と考えると, (F.h)(x)=F(h(x)) となる. (2) y=f(x) とおいて,yを上手く利用する . つまり, (f)(x)=h(f(x))=h(y) となる. (または、右のように f(x) の逆関数f-1 (x) を用いて考えてもよい) UNMA 解答 (1)()(fog) Focus (x)=f(g(x))=f(2x2-2) =3(2x²-2)+1=6x²-5 (イ) ((fog)。h)(x)=(f°g)(h(x)) 2 24 =(f.g)(²₁)=6(+²₁) ²-5 = (x²-1²-5 (21) x (2) y=f(x) とおくと, (hof)(x)=h(f(x))=h(y) したがって, (hof) (x)=g(x) より, (y)=g(x)=3x-4 ..1 また, y=f(x)=x+2 より, x=y-2 これを①に代入すると, h(y)=3(y-2)-4=3y-10 よって, h(x)=3x-10 (別解) f(x)=x+2 より, f-1(x)=x-2 PLM (hof) (x)=g(x)より, h(x)=(gof-1)(x)=g(f-1(x)) =3(x-2)-4=3x-10 合成関数 (gf) (x)=g(f(x)) ** h? 00:0 h? 30€ (f°g) (x) は(ア)の結 果を利用する. y=f(x) とおいて まずh (y) を求める. (h(y) をxの式で表 す。 h:y- 3y-10 より, yx を代入す ればん(x) が求まる. y=x+2 とすると, x=y-2より, |-1(x)=x-2 → 例題128 (2) でん (x)=3x-10 のとき, (hof)(x)=h(f(x))=3(x+2)-10=3x-4=g(x) となり,題意を満たしている. 第4章