互除法の応用、1時不定方程式について詳しくわかりやすく説明してください

数A 場合の数です。 解答の4行目での≦120がいる理由を教えてください。

て, 1200円を支払う方法は何通りあるか。ただし,使わない硬貨があってもよい 指針>支払いに使う硬貨500円, 100円, 10円の枚数をそれぞれx, y, zとすると 500円0枚のとき, 100円, 10円の枚数をそれぞれa, bとすると 基本(例題10 支払いに関する場合の数 31 ものとする。 合である。 基本7 500x+100y+10z=1200 (x, y, zは0以上の整数) この解(x, y, 2)の個数を求める。 金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると, 分け方が少なくてすむ。り 1 めで、他は からxの値を絞り,場合分けをする。 場 解答 お払いに使う 500円, 100円, 10円硬貨の枚数をそれぞれx, y, えとすると,x, y, zは0以上の整数で 自 500x+100y+10z=1200 すなわち 50x+10y+z=120 50x=120-(10y+z)<120 の 不定方程式(.515~)。 と書いても イy20, z20 であるから これを満た ゆえに よって 5x<12 『xは0以上の整数であるから [] x=2 のとき この等式を満たす0以上の整数y, 2の組は (y, z)=(2, 0), (1, 10), (0, 20)の3通り。 [2] x=1のとき この等式を満たす0以上の整数 y, 2の組は (y, 2)=(7, 0), (6, 10),………, (0, 70) の8通り。 [3], x=0 のとき x=0, 1, 2 50xS120 さ間 の積は奇議、 島数があれは味 こる。 す0以上の整数を求める。 10y+z=20 (10y=20-zハ20 から に 10yS20 すなわち y<2 よってy=0, 1,2 ゴメ。 10y+z=70 中の 、 (10y=70-zハ70 から 10y<70 すなわち y<7 よって y=0,1,…, 7 10y+z=120 この等式を満たす0以上の整数 y, zの組は (y, 2)=(12, 0), (11, 10), , 12], [3] の場合は同時には起こらないから,求める場合の (10y=120-2ハ120 から 10y<120 すなわち y<12 よって y=0, 1,…, 12 ……, (0, 120)の13通り。 こなり 数は 和の法則 3+8+13=24 (通り) のグ 使討すべての種類の硬貨を使う場合の考え方 もし,上の問題で「すべての種類の硬貨を使う」とあった場合は, 次のように処理できる条件を 先に片付けておくと,数値が簡単になって処理しやすくなる。 3種類の硬貨をすべて使う →1200円から, 500円1枚, 100円1枚, 10円1枚を除いた 1200-(500+100+10)=590 (円)について考える。 90円の90円は 10円硬貨で支払う →更に10円9枚を除くと 590-9×10=500(円) は, 500円を支払う方法(使わない硬貨があってもよい)を考えると 2またなけ (2, b)=(0, 50), (1, 40), (2, 30), (3, 20), (4, 10), (5, 0) の 6通り。 したがって、合計で7通りある。

(2)は、なぜnを3で割った時の余りで場合分けするのでしょうか。

|Action》連続する m個の整数の積は,m! の倍数であることを利用せよ 3うの整数の中には, 2の倍数,3の倍数がそれぞれ少な Rdeet)は連続する3つの整数の積であり、この 2 倍数であることの証日 頭出 (2),2n°+3n+nは6の倍数である。 パールは6の倍数である。 逆向きに考える )の形になる (a) 6×( b) 連続する3つの整数の積である (c)「2の倍数」かつ「3の倍数」である いずれかを示す。 m 4与えられた式を因数分解 する。 4n-nを因数分解する。 とも1つ含まれるから, 6の倍数である。 とって、パーnは6の倍数である。 2 N=2n° +3n°+n とおくと N= n(2n°+3n+1) = n(n+1)(2n+1) の+1) は連続する2つの整数の積であり,n, n+1の いずれかは2の倍数であるから, Nも2の倍数である。 一般に,連続する m個の 整数の積は m! の倍数と なる。 18 次に 7) n= 3k (kは整数)のとき N= 3k(3k+1)(6k+1) 1) n= 3k+1 (kは整数)のとき N=(3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2)(2k+1) () n= 3k+2 (kは整数)のとき N=(3k+2)(3k+3)(6k+5)= 3(3k+2) (k+1)(6k+5) kは整数であるから, (ア)~(ウ)のいずれの場合も Nは3 の倍数となる。 したがって, 2m°+3z°+nは6の倍数である。 (別解) 20 nを3で割ったときの余 りで場合分けして考える。 N=n(n+1)(2n+1) = n(n+1){(n-1)+ (n+2)} 2n+1= (n-1)+(n+2) と変形し,連続する整数 の積の形をつくる。 (7-1)n(n+1) および n(n+1)(n+2) は連続する3つ の整数の積であり,この3つの整数の中には2の倍数, 3の倍数がそれぞれ少なくとも1つ含まれるから, こ の3つの整数の積は6の倍数である。 よって, その和である 2rパ+3x°+nも6の倍数である。 位勤であることを証明せよ。 I07 7章|eユークリッドの互除法と不定方程式|

等式を満たす整数XYの組を1つ求めよ 24X＋19Ｙ=1 これの解き方を詳しく教えてください🙏

分からなくて困っています！ 至急教えていただきたいです！！

題74 不定方程式の解 (1) 不定方程式 3.r+2y=5 の整数解は (をは整数) エ= セ は Jo1

例題28の【オ】を教えていただきたいです。 解説の（-2,-15）などのm,nの組はどのように求めているのでしょうか?

のを変形すると, (_ア ]m-1)(イ]n-3)=[ウエ]となる。これにより, ① 重要例題28) 2次の不定方程式。 第7章 整数の性質 129 を整数とする。方程式 6mn-9m-2n=27 m, 7 Oの解について考える。 を満たす m, nの組はオ の値が最大となるのは, 組存在することがわかる。 m=_カ オ組のうち, mn n=| キ]のときである。 POINT! )=(整数)の形に変形する。 ( ) は(整数)の約数。 自然数,偶数,奇数などから, 解の候補を絞り込む。 ①を変形すると 3m(2n-3)-2n=27 3m(2n-3)-(2n-3)=27+3 -2n-3をつくる。 全1つの文字について整理。 基1 よって(73m-1)(イ2n-3)=ウェ30 m, 1nは整数であるから, 3m-1, 2n-3も整数である。 よって, 3m-1, 2n-3は30の約数である。 )=(整数)の形 に変形。 )は(整数)の約数。 2n-3は奇数であるから →素早く解く! (3m-1, 2n-3)3 (-2, -15), (-6, -5), (-10, -3), ←3m-1は 7 3(m-1)+2 より,3で割ると2余るこ とから,絞り込むこともで きる。その場合 (6, 5), (2, 15) 3m-1 -2 -6 -10 -30 30 10 2 2n-3 -15 -5 -3 -1 1 3 15 29 31 11 (2, 15), (5, 6) が候補となる。 m -3 1 3 3 3 -6 -1 0 1 2 3 9 表から, m, nが整数となる組はオ2組存在する。 このうち, mn の値が最大となるのは m=カ1, n=キ9 2n-3が奇数であることに気付かないと, 2n-3=±2, ±6, ±10, 土30 の場合も調べることになり, 余計な時間がかかってしまう (も ちろん,それらからは解が得られない)。また, 例えばm, nが自然 素早く 解く! 数であれば、mM1, n21より3m-122, 2n-32-1となるから, m, nの値は りれる。このように, 条件や式から効率よく解の候補を絞り込みたい。 らに、上の表では m. nの値をすべて求めているが, mが整数にならないとわ かった時点で、×印など記して、 それを解の候補から除外してしまうとよい。条件 を満たさなt デわゴ求める必要はない。 |整数の性質 6|5|7|3|4 53 13

なぜこの順で考えていって場合分けまでするのかという、この解答までの過程が分かりません。教えて欲しいです🙏

基本例題10 支払いに関する場合の数 | 00円, 100円,10円の3種類の硬貨がたくさんある。この3種類の硬貨を使っ 検討すべての種類の硬貨を使う場合の考え方- もし,上の問題で「すべての種類の硬貨を使う」 とあった場合は, 次のように 処理できる条件を 1, 12), [3] の場合は同時には起こらないから, 求める場合の 支払いに関する場合の数 基本例題10 1900円を支払う方法は何通りあるか。ただし, 使わない硬貨があってもよい ものとする。 基本7 >支払いに使う硬貨 500円, 100円, 10円の枚数をそれぞれx, y, zとすると 500x+100y+10z=1200 (x, y. 2は0以上の整数) この解(x, y, 2) の個数を求める。 金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると,分け方が少なくてすむ。 からxの値を絞り, 場合分けをする。 解答 支払いに使う 500円, 100円, 10円硬貨の枚数をそれぞれx, y, とすると,x, y, えは0以上の整数で 500x+100y+10z=1200 すなわち 50x+10y+z=120 ゆえに (不定方程式(か.515~)。 イy20, z20であるから これを満た 50x=120-(10y+z)<120 よって 5x<12 xは0以上の整数であるから x=2のとき 50x<120 x=0, 1, 2 す0以上の整数を求める。 10y+z=20 (10y=20-z<20から 10yS20 すなわち y<2 よって y=0, 1, 2 この等式を満たす0以上の整数y, zの組は (9, 2)=(2, 0), (1, 10), (0, 20)の3通り。 x=1のとき 10y+z=70 この等式を満たす0以上の整数 y, zの組は (y, 2)=(7, 0), (6, 10), *=0のとき (10y=70-zS70 から 10y<70 すなわち yS7 よって y=0, 1, …, 7 (0, 70) の8通り。 10y+z=120 (10y=120-zハ120から 10y<120 すなわち y<12 よって y=0, 1, …, 12 (y, 2)= (12, 0), (11, 10), …, (0, 120) の 13通り。 独は 和の法則 3+8+13=24 (通り) すべての種類の硬貨を使う場合の考え方 先に片付けてれ 血値が簡道になって処理しやすくなる。 10円1枚を除いた

このやり方で求める場合、5x-14y=3はどのようにして求めたらいいですか？

2次の等式を満たす整数 x, yの組を1つ求めよ。 ( (1)) 17x+14y=1 -6 4。 全きB-つける 31417 2(2(t 2.1 2 3 火ンち、4=6

この問題が分かりません 四角で囲んでいるｎ＝2というのがどこから出てきたのか教えてください🙇‍♀️

例題 10 1次不定方程式の利用 4で割ると2余り,7で割ると4余るような3桁の自然数のうち最小のもの を求めよ。 4で割ると2余り, 7で割ると4余るような自然数を Nとする。 Nを4で割ったときの商をaとすると,余りは2であるから 解 N= 4a+2 Nを7で割ったときの商を6とすると, 余りは4であるから N= 76+4 2 0, 2より 14a=4, b=2 の組は③ の整数解の1つであるから 3-のより 4(a-4)-7(b-2)= 0 4a+2= 76+4 よって 4a-76=2 4.4-7-2=2 の n 4(a-4) = 7(6-2) 4, 6は整数であり,4と7は互いに素であるから, 6-2は4の倍数となる。 よって,6-2= 4n (nは整数)とおくと 6= 4n+2 2に代入すると N= 7(4n+2) +4=28n+18 n=2 のとき N= 28×2+18 = 74, n =3 のとき N= 28 ×3+ 18 = 102 したがって,条件を満たす自然数のうち最小のものは 102

合ってるかどうか確認お願いします🙏

練254 (1) 2x+ 11g: 5 2% + 11g 3 5 ) 2:8-11-115 2と11は互いに煮であるから x-8は 11の倍になる。 よって X-8 8 llの数 北 =11k+8 4- -2k-1 2kこと内(はか) 2水-1 -2k-1