-
![]()
7/27
9 接線の本数
関数 y=x-3.xのグラフについて,
(1) グラフ上の点(p, が-3p)における接線の方程式を求めよ。
に
(2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点を (a, b) とする. このとき, (a, b)が
(
(中央大商/一部変更)
存在する範囲を図示せよ.
接線の方程式
定点 (a, b) から, 曲線y=f(x) に引ける接線
定点を通る接線を求める
を求めるには、曲線 y=f(x)の全ての接線を考え,その中で (a, b) を通るも
のを求めるとよい。具体的には、曲線y=f(x) 上の点(t, f (t)) における接
線の方程式y=f(t) (xt)+f(t)に(x, y) = (a,b) を代入して、その式
を満たすようなt を求める. これが,接点のx座標である。 実際に代入すると,
b=f'(t) (a-t) +f (t)①
この式はについての方程式で、 例えば実数解が2個あれば,それらをx座標とする点において,
点(a, b) を通る接線が2本引ける f (x)が3次関数の場合, ①の異なる実数解の個数と, 定点
(a, b)から曲線y=f(x) に引ける接線の本数は等しい (解答の後の注参照).
曲線y=f(x) 上の点 (t, f (t)) における接線の方程式は,傾きf(t)で,
(t, f(t)) を通る直線の方程式なので,y=f(t) (xt)+f(t)
y=f(x)
(a, b)
(エ)\
解答
(1) C:y=3xについて, y'=3ー3であるから,エ=pにおける接線の
方程式は
y=(32-3)(x-p)+p-3p
(2) (1) の接線が (a, b) を通るとき,
y=(3p2-3)x2p3
b=(3p2-3)a-2p³ ∴.2が-3ap2+3a+b= 0
・①
点 (a, b)を通り Cへの接線がちょうど2つ存在するための条件は、かの3次方
程式①の解がα, α, β (α,Bは実数で, αキβ) となること･･････ ② である (注)
(2) f(p)=23-3ap2+3a+b (①の左辺)
とおくと,
f'(p)=62-6ap=6p(p-a)
であるから,②となるのは、 右図より,
a = 0 かつ 「f(0)=0またはf (α)=0」
のとき.
q=f(p)|
B
a
p
YA
a0 かつ「3a+b=0または-+3a+b=0」 \
よって, 点 (a, b) が存在する範囲は
a B
g
y=f'(p)(x-p) + f (p)
3次関数の場合, 接線と接点が1
対1に対応する
y=x3-3x3(土)ーは
01
一般に3次関数y=f(x)のグラ
フに対して引くことができる接
線の本数は,領域ごとに下図のよ
+1913.\s (1071
x=0 かつ 「y=-3x または y=x3-3r」
10
x=0におけるCの接線がy=-3であることに注意し
て,これらを図示すると, 右図のようになる (ただし,
白丸は除く).
y=-3x
2本)
y=f(x)/
注 3次関数の場合, 接線の本数は①の解の個数に等し
いが, 4次関数では, 右図のように, 接線1本に対して接
点が2個ある場合があるので,
3本
1本
we
2本/ 1本
(接線の本数)=(解の個数) は一般には成り立たない
I)
1本
3本
2本
9 演習題(解答は p.128 )
る.このとき (α,β) の範囲を求め, 図示せよ ただし, α > 0 とする.
曲線y=x6z2上の4つの異なる点における接線が,いずれも点 (α,B) を通るとす
(t, f(t)) での接線が
(千葉大・理一後) (α, β) を通るとする.
122
