(2) (1)と(-1) がともに整数であれば,すべての整数 n に対して,f(n)も整数となること
4, 6を実数とし,整式 (x)=x'+ax°+bxを考える。
(1) a, bを(1). S(-1)を用いて表せ。
EX
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n
を証明せよ。
(関西大)
(1)(1)=1+a++6, f(-1)=-1+a-bであるから
a+b=f(1)-1
そa, bの連立方程式を
0, a-b=f(-1)+1
O+2 から 2a=f(1)+f(-1) ゆえに a=
解く。
2
0-のから 26=f(1)-f(-1)-2
ゆえに
6=
2
(2)(1) から,整数nに対して
そf(x)
f(n)=が+(1)+f(-1)
-n?+
-n
=+0+パ-1)。
2
2
2
ミ+2(n+1)
2
ーn
2
2
x
n(n+1), n(n-1) は連続する2整数の積であるから,ともに2
の倍数である。
n(n+1) n(n-1)
よって,
は整数である。
2
2
したがって,f(1), f(-1) がともに整数であれば,すべての整|そr, -nも整数。
数nに対して,f(n) も整数となる。
