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基礎問
165 四面体 (II)
座標空間に2点A(2, 2, 3), B(4,35) をとり, ABを1辺と
する正四面体 ABCD を考える.
(1) [AB, AB AC を求めよ.
②辺ABをt: (1-t) に内分する点をPとするとき, PC・PD,
|PC をtで表せ
(3) ∠CPD = 0 とおくとき, Cos を tで表せ
(4) costの最小値と,そのときのtの値を求めよ.
(3)
△ACD, △ABDも正三角形だから
正四面体の性質
ACAD=AB・AD=ABAC=9
2
よって、PC・PD=912-9t+2/27
また,|PC|=|AC-tAB|=|AC-2tABAC+AB
=9t2-9t+9
=
PD=|AD-tAB=9t2-9t+9 だから
cos=-
PC・PD
182-18t+9
PC||PD|2(92-9t+9)
2t2-2t+1
精講
(1) AとBしか与えられていないのに, AB AC が求まるのか?と
2t2-2t+2
何にだから、しゃは
同と同じ
思った人は問題文の読み方が足りません。
「正四面体」と書いてあります. 正四面体とは,どのような立体
でしょうか.
(2) 164 のポイントにあるように, 平面 PCD で切って平面の問題にいいかえ
ます。
(3)空間でも, ベクトルのなす角の定義は同じです.
よって,t=1212 のとき,最小値 1/3
(4) cos0=1-
1
2t2-2t+2
3
わり算をすることで,
+
分子の次数を下げる
解答
(1) AB= (2,1,2) だから,
|AB|=√4+1+4=3
また,△ABCは正三角形だから,
∠BAC=
|AC|=|AB|=3
AB-AC-|AB||AC|cos
ポイント 正四面体とは、4つの面がすべて合同な正三角形であ
る四面体
注 正三角すいと正四面体は異なります.
正三角すいとは,右図のように,
1つの面は正三角形, その他の面は,
合同な二等辺三角形であるような四面
体です.
A
B'
C
π
COS
1-t
=3.3•
1
9
D
22
B
演習問題 165
C
(2) PC=AC-AP=AC-tAB
PD=AD-AP=AD-tAB
:: PC・PD=(AC-tAB) (AD-tAB)
=AC・AD-tAB・AC-tAB・AD++AB
D
正四面体 ABCD の辺 AB, CD の中点をそれぞれ,M,Nとし,
線分 MN の中点をG, ∠AGB=0 とするとき, AB=2 として次の
問いに答えよ.
(1) GA, GB を AB, AC, AD を用いて表せ.
(2) |GA|, |GB|, GA・GB の値を求めよ.
(3) cose の値を求めよ.
第8章
