演習11(2)は何をヒントに解答の取っ掛かりが思いつくのでしょうか。 最初の①式にn=n+1を代入した②式を作り、①②の二式を作ることで上手くいくという発想は、 他にどんな問題で使えるのでしょうか。

bn 4 ::bn+1/2=57-1(01+1/12)=57-1 (1/2+1)=21425"-1 4 b=-5-1-1-3-5-1-1 (2) a1=2, nan+1= (n+1)an+1 ④をn(n+1) で割ると, 右 あたまんな ↓ Anti-part for n よって, n≧2のとき, n-1 ← { bn+1}は公比5の等比数列 0- <b₁= 1_1 a₁ 2 4 4 ani 4 3.5"-1-1 ④ 階差型になる. (+)=(10) +1+ 1 1=0m+1より n+1 n an+1 = an + n+1 n n(n+1)= 1 ..bn+1-bn= n(n+1) bm=- an とおくと, bn+1=bn+. 1 (n+1)+1が定数数列としてもよ •=2+ b=b₁+2 (b+-ba)=2+(k+1)²+(+1) k=1 1 1 =2+ 1 (n-1)+1 1 =3- (n=1のときもこれでよい ) n ( 4--2-2 1 ..an=nbn=3n-1 11 演習題 (解答はp.76) 次で定義される数列{4} の一般項を求めよ. (1) 例題 (1)に似てい (2) 2との関係 an-1 る. (1) a1=8, n=- (n=2, 3,...) (津田塾大 国際関係) (n-1) an-1+1 ( 信州大・理) は? (2) a₁ =3, anan+1=5.22n-1 (n=1, 2, 3, ...) 66

(1)を係数比較で解こうとしましたが、A=1になるところ、-1になってしまいました。2枚目の右側のものが解答の解き方でした。 どこで間違えたのでしょうか。

12/ bn = 4 n とおくと, b1=241=1, n-1 +1 =1, bnt1=bn- (1/2)となるので,n2のと bn=b₁+ (bk+1b)=1- k=1 1 (2/2) =1- k=] 11/12/11-(1/1)-1/2+(1/2) =1 よって, an=4"bm=4" 11/1/2+(1/2)^}= n-1 2 1 1- 2 (n=1のときもこれでよい) =2.4"-1+2" 【別解】 (2) n+1+A2n+1=4(an+A2") を満たす A を求める。 an+1=4an+4A2"-A・2n+1=4a,+A2n+1 と条件式を比べて, A=-] an+1-2n+1=4(an-2")より,{an-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2･4n-1 09 9 演習題 (解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 an を求めよ. (1) a1=2, an+1=3an+2n2-2n-1 (n≥1) (2) a1=1,n+1-2an=n.2n+1 (n≧1) an=2.4"-1+2" (E (3) a1=1, an+1 1 n-1 = 2 ant n(n+1) (n≧1) ( 64

数2の質問です！ (１)でなぜ答えに3分の4πは含まれないのかを 分かりやすく教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

(2)(1,3), 直線 y=-x+1との角をなす直線の方程式を求めよ。 PR (1) 2直線 y=x-3,y=-(2+√3)x-1のなす鋭角を求めよ。 ② 129 (1) 図のように, 2直線とx軸の正の向 きとのなす角を,それぞれα, βとする と, 求める鋭角0 は β-αである。 y y=x-3 IB Ca x tang=1, tanβ=-(2+√3) である BS [別解 2直線は垂直でな いから tan 0 | 1-{-(2+√3)} 1+1・{-(2+√3)} =√3 から 9 tan β-tana tan0=tan(β-α)= 1+tan βtana -(2+√3)-1 1+{-(2+√3)}.1 0<< であるから 2 -3-√3 == -1-√3 3 の正の向 0<< 5 0=1 |y=-(2+√3)x-1 √3-√3-1)=√3 = =√3 YA y

解き方がわかりません😭 教えてください

971=3, an+1=24-1によって定められる数列 {an の一般項を求めよ。 (20点) x=2x-1 (x x=1 り anti-1=2can-1) bn=an-1とおくと、 →教 p.36 例題 12 →→ bntl=anti-l bn+1=26m b=an-l →3-1=2 bn= bn=27-1より

解き方がわかりません！！教えてください🙇🏻‍♀️！

log (sin x) tan x dx 1/6

nが消えないんですが、なぜこれではダメなんでしょうか、

基礎問 190 125 2 項間の漸化式(Ⅲ) (1) an+2n=bm とおくとき, bn, bn+1 の間に成りたつ関係式を a=1, an+1=3an+4n n≧1) で表される数列{an}がある. 求めよ. (2) bm を求めよ. |精講 (3) a を求めよ. an+1=pan+gn+r (p≠1) ...･･･ ① 型の漸化式の解き方には次 3通りがあります。 1.an+an=b" とおいて, bn+1= pbn+g 型になるように, αを決める II.an+an+β=bm とおいて, bn+1=rb 型になるように,α,βを決める III. 番号を1つ上げて an+2=pan+1+α(n+1)+r ...... ② を用意して ②①を計算し, an+1-a=b とおいて, 階差数列の考え方にもちこむ この問題では, I を要求していますので, II, IIIの解答はを見て下さい 解答 (1)a=b-2n, an+1=bn+1-2(n+1) だから これらを与式に代入して bn+1-2(n+1)=3(bn-2n)+4n ∴.6+1=36+2 (2)+1=36+2 より bn+1+1=3(6n+1) ゆえに、数列{bn+1} は, an+1=pan+α型 1a=3+2 より α=-1(124) 初項 b1+1=(a+2) + 1 = 4, 公比3の等比数列. よって, bn+1=4・3n-1 ∴.bm=4.3-1-1 (3) an=b-2n=4.3"-1-2n-1 参考 (その1) (IIの考え方で)

⑶がわかりません。いつもこういう問題で点数を落としてしまうのでコツとかありましたら、教えてくれると嬉しいです。m(_ _)m

| <グラフと図形〉 右の図で, 点A,Bは直線y=-2x+10とx軸, 軸との交点である。 また, 四角形 OPQR は長方形で,点 Qは線 分AB上にある。 次の問いに答えなさい。 BA -y=-2x+10 3 1) 点Aの座標を求めなさい。 ■ (2) OP=3のとき QPの長さを求めなさい。 ■(3) 四角形OPQRが正方形となるとき, 点Qの座標を求めなさい。 R RO A X 03 P

(イ)は(ア)とは違い逆像法で解いています。 結局どちらの問題もxとyの関係式を代入して文字を減らしています。 違いはなんでしょうか。 二次関数の問題において、(他の問題でも同じことが言えるのかもしれませんが…)逆像法じゃなきゃ解けない問題ってどう判断するんでしょうか。

t 122変数関数 / 等式の条件が2次式の場合 実数エリが+=1をみたすとき,'+4yは(x,y)= とり(x,y)=(,)のとき最小値 )のとき最大値 実数エリがェー2zy+2g2=8 を満たすとき,x+yの最大値と最小値を求めよ. をとる. (東海大・理, エ ( 名古屋学院大 (7719123 角入し 7 この先回ら #4 等式の条件が2次の場合 (ア)の場合,1-y2としてェを消去すれば前間と同様に解ける。こ こで,xの範囲に制限がないから,yに反映させる条件はない。とすると大間違いである。 例えばy=2 とすると, r2=-3となるがこれを満たす実数ェは存在しない! つまり、エが実数であるための条件≧0をリに反映させる必要がある。 (zが実数で存在する条件) 一方、(イ)の場合、無理に1文字を消去してェをリで表せば,r=y±√8-y2というやっかいなもの が登場してしまう.こんなときは、次の手法が威力を発揮する。 (「大学への数学」 では “逆手流” と呼 んでいる) かて f(x,y)=0のとき,g(x, y) の取り得る値の範囲 I を求めるとする. ある値kについて, kがIの範囲に入る 「f(x,y)=0かつg(x,y)=kを満たす実数x, y が存在する」 本間の場合、f(x,y)=x²-2xy+2y2-8, g(x,y)=x+yであり,「 」 から得られるkの条件 (範囲)がIになるわけである.なお,逆手流については、詳しくは 66. 解答量 (ア)+y2=1により, r2=1-y2 存在条件に →Dしかない (ア)有在条件(イ)有不 1次へ xxの ェの実数条件. な お,r'+y2=1 は 右図の単位円を 表すことからも 34 2-7 1 20 であるから, 1-y2≧0 ..-1≤y≤1 このとき,'+4y=(1-y2)+4y=-(y-2)2+5 よって, y=1 (このときx=0) のとき最大値 4 y=-1 (このときx=0)のとき最小値 4 (xtyがんという実数値を取り得る. ←xty=kかつェー2xy+2y2=8 を満たす実数工y が存在する。 -1≦y≦1が分かる. ①る+300-8- ② 2ェ(k-1)+2(k-1) 2=8 ① (y=k-ェ･･････②) を満たす実数が存在する。 ここで, ①を整理すると, 52-6kr+2k2-8=0 ②を使って”を消去.なお, ェが 実数なら②から」が実数である から が言える. これを満たす実数ェが存在するための条件は,上式をェの2次方程式と見たと 少なくとも1つ実数解を持たな きの判別式をDとすると, D≧0であるから, ければならない。 その条件は DZO. D/4-(3k)2-5(2k2-8)≥0 .. k²≤40 .. -2√10 ≤ k ≤2√/10 よって,xtyの最大値は2/10 最小値は2/10 である. 12 演習題(解答は p.59) (ア) エリが+2y2=1 をみたすとき2x+3y2の最大値は [ である. で,最小値は [ ( 明海大歯) (イ) (1) 実数エリがry+y-y-1=0をみたすとき, yの最大値は[ 最小値は □である。 ]で, (愛知工大) (ア) 実数条件を忘れな (2) 実数x、yがェー2x+y=1を満たすとき,x+yの最大値は [ である. 最小値は いように、 ( 広島工大) (イ) 逆手流を使う. 解答のか 45 ¥4

出題者は、なんで少なくともひとつは1以上かどうかっていう問題を作ろうとしたんでしょうか？

12 不等式の証明/ABA-B≧0 a, b, e を正の実数とする. X= 3a+b 3b+c 3c+a Y= Z= a+3b' b+3c' c+3a について次の問いに答えなさい。 3 (1) 1/12 <X<3 を証明しなさい。 (2) X,Y,Zのうち、少なくともひとつは1以上であることを証明しなさい。 (3) <X+Y+Z<7 を証明しなさい。 5 3 差が0以上を示す (明治学院大径社法) A. Bがェの式として, A2Bを示すことを考えてみよう。このとき A-B20 を示すのが1つの定石である。 AとBを合流させることによって式変形の仕方の可能性が高 まるし、目標が0以上を示すことになるので、式変形の方針も定め易くなる.例えば,平方完成をして (実数)+(実数)の形を導いたり。 因数分解をして (正の数)×(正の数) の形を導いたりすればよい。 ■解答■ (1) x-1 = 3a+b 1 3(3a+b)-(a+3b) a+3b 3 3(a+3b) 3a+b a+3b 3-X=3- よって、1/32<x<3 8a 3(a+3b) >0 8b →0 a+3b a+3b 3Ca+3b)-(3a+b) a b は正の実数 X7.299 3/776 ← (2-0)za) (2+)=0 83000 3a+b (2) X-1= 3a+b-(a+36) --l= 2(a-b) a+3b a+3b a+3b すべての 同様にして, Y-1- 2(b-c) Z-16 2(c-a) 6+3c 分子の正 c+3a a,b,cのうちでαが最大のとき,bであるから X21 (a-b>0) a. b c のうちでもが最大のとき, beであるから 21 ) a,b,cのうちでcが最大のとき, c2aであるからZ21 (0-1) したがって, X, Y, Zのうち, 少なくともひとつは1以上である。 (3) (1)により, 1/32<x<3, 1/3 <<3, 1/32 <Z<3が成り立つ。 これ以降, 背理法を用いてもよい X <1 かつY <1 かつて<1と仮 定すると, a<bかつb<cかつ <a が成り立つ。 a<bかつb<cのときa<cと なるが,これはに矛盾する X21のときは,Y/1/32 1/3 とから、X+Y+Z>1+ 1 1 5 + Y, Zについても Xにおいて文 字を入れ換えただけだから, Xと 同様の不等式が成り立つ。 3 3 3 Y≧1, Z≧1のときも同様である。 また,ab.cのうちの最小のものに着目すれば(2)と同様にして,X,Y,Zの与式の左は 11/13 うち、少なくともひとつは1以下であることが分かる. X1のときは,Y <3, Z <3 とから,X+Y+Z<1+3+3=7 +1から出 てきた。 右辺の7は, 3+3+1 か ら出てくることに着目、 Zのときも同様である。 12 演習題(解答は p.28) (1)400のとき、不等式+2b+ab2 を証明せよ。また、等号が成り立つ のはどのようなときか (2) a,bを実数とする。不等式+1+12√(a-1)2+(6-1)を証明せよ。 また、等号が成り立つのはどのようなときか (2) 0以上なので (左)(右)20を ( 東北学院大) 示せばよい。 19

比例式　、サイクリックな式の本質は、 軌跡領域の逆像法でパラメータの存在条件を考える時と同じですか？

11 比例式, サイクリックな式 xy+yz+zx (ア) x+4y y+4z z+8エ 3 をみたす正の実数x, y, z について, 2+12+22 6 4 (椙山女学園大) である. I (イ) y Z y+z 2+1 このとき,この式の値は,x+y+z=0のとき x+y x+y+z=0 の (麻布大獣医) とき である. 比例式はとおく 条件式が ==形(ry:z=a:b:cを意味する比例式)で与えら abc れたときには、この分数式の値をkとおくのが定石で、こうすると計算にのせやすい。 サイクリックな式 (イ)の式の値をとおくと,r=k(y+z) などとなる.ここで, x,y,zをそれぞれy,z, xに入れ替えていくと, x=k(y+z) ⑦ y=k(z+x) ⇒ z=k(rty)..・・・・ウ となり,もう1回やると⑦⑦になる. このように,文字がグルグル回る, ア~⑦を サイクリックな式を言うが、この3式を辺ごとに加えると対称式になり,扱い易くなる. 解答 (ア) x+4y y+4z 2+8x 3 =k (k>0) とおくと, x, y, zが正により, k>0 6 4 x+4y=3k ①y+4z=6k... ②, z+8x=4k...... ③ ①によりェ=3k-4y で, これと③から z = 4k-8=32y-20k これを②に代入して, y+4(32y-20k)=6k 等式の条件は,文字を消去するの が原則 86 2 129 3 y= -k= ==k, I=3k-- 4 -k, z=4k- -k= -k 3 3 E そのままk=31 (1>0) とおいて,r=l, y=21,z=4l 大変 1-21+21-41+41.1 _2+8+4 14 2 よって, 求値式= = 2+(21)+(41) 2 1+4+16 21 23 I (イ) y 2 =k...... ① とおくと, y+z z+x x+y x=k(y+z) +42-6 2+8x-4f 1 k>o ②,y=k (z+x)...... ③, z=k(x+y)......④ ②+③ + ④により,x+y+z=2k(x+y+z) 1°x+y+z≠0のときは, これで割って,k= 1 2 2° x+y+z=0 のとき, y+z=-xとなり,①によりk=-1 注1°のとき,②③によりx-y=1/2 (y-x)となるから,r=y よって①とから,r=y=z となる. ←前文参照. 11 演習題 (解答は p.28) y+4(223-200 36 b+c c+a a+b b+c とする.このとき、 の値は (1) であり,a+b+c=0 a b C a a+b+c+6abc のときの の値を求めると (2) である. (福岡大) (b+c)a 後半は1文字消去すれば 解決する。