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る.
当略)
6 放物線/接線・
放物線y=xの2本の接線g, hが点 (a,b)で交わるとする. 接線 g, hが直交するための
の条件を求めよ。
((2) (a,b) が (1)で求めた条件をみたしながら動くとき, 2接線g, hの2つの接点を結ぶ直線
は常にある定点を通ることを示せ.
(津田塾大・国際関係)
この条件は, 放物線と直線の方程式を連立して得られる2次方程式が重解
ということとしてとらえることができる(判別式D=0).
放物線と直線が接する
また、例えば,y=kxとy=mx+nがx=αで接する条件は,
kx² - (mx+n)=k(x− a)² ≥tz..
ととらえることができる (左辺=0はx=αを重解にもち, 左辺のx²の係数がんであることから).
通常は微分法でとらえる.☆を使うこともできる。 により、
y=xのxαにおける接線の方程式は,y=kc²-k(x-α)により, y=2kaz-ko²となる.
放物線上のx=α における接線
重解m
解答量
(1) 点(a,b) を通る傾きmの直線y=m(x-a)+6がy=x と接する条件
... x2-mx+(ma-b) = 0......
₁ x²= m(x-a) + b
が重解をもつことで, 判別式をDとすると, D=0
D=m²-4(ma-b)が0であるから,m²4am+4b=0
·②
の2次方程式②の実数解が,点(a,b) を通る接線の傾きを表すから,2接線
の直交条件は、②の2解の積46が-1であること.
したがって、求める条件は,b=--
4
m
2
( α は任意)
12
m
=0 となるから, 重解は -であり,これ
2
(2) ⑩が重解をもつとき, X-
は接点の座標である. よって, ② の2解をα, βとすると,2つの接点は,
a
BB2
17 (1)
である。この2点を通る直線の傾きは atB.
2' 4
2 4
2
a+B
a
式は、y=-
x-
2₁,- ² + ²(x-2) + a² = a + ß₁- aß
2
4
2
4
②の解と係数の関係により, α+β=4a,αβ=4b=-1
よって③は、y=2a+1/2 であり,定点 (0.14) を通る。
4
注 (1) 直交する2接線の交点の軌跡が直線y=
4
ということ
直線の
一般に,実数係数の2次方程式
x2+cx+d=0の2解α, βが
αβ <0 を満たすとき, 解と係数の
"関係から d<0であり, 判別式
←
D = c24d>0となるので, 2解
は異なる実数であることが保証
される.
a² B2
4 4
B
22
a
=
06 演習題(解答は p.101)
放物線y=-
y=-x2 上の原点以外の2点P, Q を接点とする接線の交点をRとする.さら
に点P、Qの中点をMとする。 点P, Qのx座標をそれぞれp, g (p>g) とする.
It ~ 軸に平行であることを示せ .
I
←“焦点” と呼ばれる. ( 数Ⅲ)
← “準線” と呼ばれる. ( 数ⅢI
)
a
B
2 2
条件から4
