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数学 高校生

赤線の「正から負に変わらない」ことで条件を満たすのはわかりますが、それが「f,(x)=0が異なる3つの実数解をもたない」と同値であることがわかりません 解説お願いします ※青チャートⅡ例題210

00000 重要 例題 210 1次関数が極大値をもたない条件 【福島大] 関数f(x)=x-8.x3+18kx” が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め 基本 203.207 よ。 指針 4次関数f(x)がx=pで極大値をもつ 解答 x=pの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考 える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす るとよい。なお,解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。 f'(x)=4x-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k) f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0の実数解の 前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。 このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式 f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。 f'(x)=0 とすると x=0 または x2-6x+9k=0 よって, 求める条件は, x2-6x+9k = 0 が [1] 重解または虚数解をもつ [2]x=0を解にもつ [1] x-6x+9k=0 の判別式をDとすると D≤0 D =(-3)²-9k=9(1-k) であるから1-k0 4 よって k≧1 [2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると k=0 したがって k=0,k≧1 x D f'(x) + 0 f(x) / 極大 k≧1 k=0 ya ya *** k>1/ 3 k=1 X

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