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f‘(x)=0の実数解の個数で場合分けしてみました。
実数解が3個あるときだけ極大値を持つことがわかります。
そもそもf‘(x)は三次関数なんで多くても折り返しは2回までです。
すいません、どうして二回までですか？
３次関数の微分形は2次の多項式になるのはわかりますか？だから(微分形)=0としたときの実数解の個数が2個以下、つまり極値(折り返し地点)が2個以下であると分かります。
それは折り返し3つあるんで4次関数になりますが
数学
高校生
解決済み
赤線の「正から負に変わらない」ことで条件を満たすのはわかりますが、それが「f,(x)＝０が異なる３つの実数解をもたない」と同値であることがわかりません
解説お願いします
※青チャートⅡ例題210
00000
重要 例題 210 1次関数が極大値をもたない条件
【福島大]
関数f(x)=x-8.x3+18kx” が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め
基本 203.207
よ。
指針 4次関数f(x)がx=pで極大値をもつ
解答
x=pの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる
であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考
える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす
るとよい。なお,解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。
f'(x)=4x-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k)
f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0の実数解の
前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。
このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式
f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。
f'(x)=0 とすると x=0 または x2-6x+9k=0
よって, 求める条件は, x2-6x+9k = 0 が
[1] 重解または虚数解をもつ
[2]x=0を解にもつ
[1] x-6x+9k=0 の判別式をDとすると D≤0
D =(-3)²-9k=9(1-k) であるから1-k0
4
よって
k≧1
[2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると k=0
したがって
k=0,k≧1
x
D
f'(x) + 0
f(x) / 極大
k≧1
k=0
ya
ya
***
k>1/
3
k=1
X
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