■ [2021 神戸大]
■ を実数とする。 xの2次方程式 x2+(a+1)x + α²-1=0について,次の問いに答えよ。
(1)この2次方程式が異なる2つの実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ。
(2)(1) で求めた範囲で動かすとき,この2次方程式の実数解がとりうる値の範囲を
求めよ。
解説
(1)xの2次方程式 x2 + ( a +1)x +α2-1=0 の判別式をDとすると, D>0 となること
が条件である。
D=(a+1)2-4(a²-1)=-3a2+2a +5
=-(a+1)(3a-5)
D0 から (a+1)3a-5) <0
よって, 求めるαの値の範囲は
-1<a<
(2)与えられた方程式をα について整理すると
a2+xa+x2+x-1=0
・①
これをの2次方程式とみて、 ①の範囲に解をもつ条件を調べる。
f(a)=a2+xa+x+x-1 とおくと
2 3
5(a)=(a+)²+x²+x-1
放物線y=f(a)の軸は,直線α-22 である。
[1]12/1 すなわち≧2 のとき
f(-1)=x20
であるから,①の範囲には解をもたない。
5
[2]11/11/23 すなわち
10 <x<2
MO
のとき,①の範囲に解をもつ条件は,f(-1)>0であるから(-1/2) 20
3
ゆえに
-x2+x-1≦0
4
すなわち
よって
(x+2)(3x-2)≦0
-2515²/
これは②を満たす。
5
10 のとき
3
8
16
>0
+
であるから, ①の範囲には解をもたない。
[1] ~ [3] から, 求めるxの値の範囲は
2
-2≤x≤3
