（1）でなぜあまりの係数わかってないのに 勝手にあまりを一次式にしてるんですか？

92 重要 例題 58 剰余の定理の利用 (3) (1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき, 定数 α, b の値を求 めよ。 (2) 2以上の整数とするとき, xn-1 を(x-1)2で割ったときの余り を求めよ。 [ 学習院大 ] CHART SOLUTION M=2 + A² 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 1 次数に注目 ② 余りには剰余の定理 (x-1)2で割り切れるf(x)=(x-1)2Q (1) n=1 53² (x-1) * 2x22 T0 81/464|1 ⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。 (2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,α°= 1,6°= 1 である。 || = (^-A (ar) a²_b² = (a−b) (an-¹+an-²b+an-³p² + ... ... + abr - ² + b² −¹) 4²3 B²² (a Ma² + ab + B 解答 (1) f(x)はx-1 で割り切れるから f(1)=0 1-α+6=0 ゆえに b=a-1 よって したがって f(x)=x-ax+α-1 =(x-1)(x2+x+1-α) g(x)=x2+x+1-α とすると ゆえに g(1)=0 ゆえに a=3 両辺にx=1 を代入すると 0=a+b よって 3-α=0 これを①に代入して b=2 (2) x-1を2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り をax+b とすると, 次の等式が成り立つ。 x"-1=(x-1)2Q(x)+ax+6 よって PRACTICE･・・ 58 ④ 4 x"−1=(x−1)²Q(x)+ ax=a x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2+......+x+1) であるから =(x-1){(x-1)Q(x)+α} afr ²5-a 両辺にx=1 を代入すると よって a=n したがって 求める余りは ⑥x-1+x2+..+x+1=(x-1)Q(x)+α 1+1+ ...... +1+1=a b=-a=-n ゆえに ...... SC nx-n (1)a,bは定数で、xについての整式 このとき, a h Last h=α = b 基本 54 a-1 10 -a+1 10 -a 1 1 11-a +10 4.8+(5) 条件から,g(x) もx-1 で割り切れる。 全 かおる 割り算の基本公式 A=BQ+R (x-1)2Q(x)+α(x-1) ■1=x であるから、左 の項数はxからx"ートま での n個

別解の方の下から5行目の商がaになるのが分かりません

00000 基本例題 54 剰余の定理の利用 (2) 多項式 P(x) を x-1で割ると余りが3,x2-x-6で割ると余りが-2x+17 であるとき,P(x) を(x-1)(x+2)(x-3)で割った余りを求めよ。 ③ 基本 53 C HART & SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 3次式で割ったときの余りは2次以下であるから、R=ax²+bx+c とおける。 x2-x-6=(x+2)(x-3) であるから,まず, x+2x-3で割ったときの余りをそれぞれ 求める。 別解 余りのおき方の工夫をする。 ax2+bx+c を更にx2-x-6で割った余りを考える。

2x+cと置くことが出来るのは、2X^3÷x^2が2だからですか？

17 商は2x+c とおける。 条件から 右辺をxについて整理すると f4 PIED これを解いてc=6,6=2,a=-11 + 2 E 2x3+ax+10=(x2-3x+b)(2x+c) +3x−2 TOT 2x3+ax+10=2x3+ (c-6)x2+ (26-3c+3)x+bc-2 これがxについての恒等式であるから、両辺の同じ次数の項の係数を 比較して 2b-3c+3-a, bc-2=10 c-6=0, 12 c=6, b=2, a=-11s+01+xE=6+x6+

(2)についての質問です。最後の方Ｐ(-1),P(-2)に解答ではしてるんですが、それぞれ1,2を代入では駄目なんですか？

94 基本例題 55 剰余の定理利用による余りの問題 (1) | (1) 多項式 P(x) をx-1で割ると余りは5,x-2で割ると余りは7となる。こ =(x) [ 近畿大] のとき,P(x) をx-3x+2で割った余りを求めよ。+ (2) 多項式 P(x) をx-1で割ると4x-3余り, x2-4 で割ると3x+5余る。 のとき,P(x) を x2 +3x+2で割った余りを求めよ。 解答 指針 P(x) が具体的に与えられていないから,実際に割り算して余りを求めるわけにはいか ない。このような場合, 割り算の等式 A = BQ+R を利用する。 特に,余り R の次数が割る式B の次数より低いことが重要なポイント! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+6 とおける。 条件から、このa,bの値を決定したい。 それには, 割り算の等式 A=BQ+R で, B=0 となるxの値 (これを●とする)を考えて、P(●) の値を利用する。 CHART 割り算の問題 (1) P(x) をx23x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったと きの商をQ(x), 余りをax+bとすると,次の等式が成り 立つ。 基本等式 A=BQ+R ① R の次数に注意 2 B=0 を考える P(x)=(x-1)(x-2)(x+ax+b ゆえに a+b=5 ゆえに 2a+b=7 a=2, b=3 条件から P(1)=5 P(2)=7 ①,②を連立して解くと よって, 求める余りは 2x+3 (2) P(x)=x2+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったと きの商をQ(x), 余りをax+bとすると,次の等式が成り 立つ｡ (1) (2) P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b また, P(x) をx-1, x 24 すなわち (x+1)(x-1), (x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれ Qi(x), Q2(x) とすると P(x)=(x+1)(x-1)Q(x) +4x-3 ...... P(x)=(x+2)(x-2)Qz(x)+3x+5 ①から P(-1)=-7 これと ② から P(−2)=-1 ③ ④ を連立して解くと α=-6,6=-13 ・基本 54 重要 57 ...... から-a+b=-7 これとから -2a+b=-1 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 $()(0) <B=(x-1)(x-2) 剰余定理。 また, ア の両辺にx=1 を代入 するとP(1)=a+b 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 <B=(x+1)(x+2) <a b の値を決定する ためには, P(-1), P(−2) が必要。 そこ で、①,②にそれぞれ x=-1, x=-2 を代 (3) ④① 求める余りは -6x-13 練習 (1) 多項式 P(x) を x+2で割った余りが 3,x-3で割った余りが-1のとき、 ② 55 P(x) を x2-x-6で割った余りを求めよ。 (2) 多項式 P(x) を x2+5x+4で割ると2x+4余り, x2+x-2で割ると るという。このとき,P(x) を x2+6x+8で割った余りを [(1) 立教大 ズーム UP 多項 だが, でき まず, 割った して ak 割 に体に 体自 す しま と (1) この から

数II　剰余の定理です なぜ2次式で割ると 余りが1次式または定数になるのかが分かりません 教えていただけると嬉しいです🙇‍♀️

90 の 基本例題 53 剰余の定理の利用 (1) 多項式 P(x) を x-2で割ると3余り, x+3で割ると -7余る。 P(x) を 基本 52, C 重要 57 (x-2)(x+3) で割ったときの余りを求めよ。 [中央大] CHART & SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+ R を利用 (余りR の次数) < (割る式の次数)が決め手 one 2 THAM 2 割る式 (x-2)(x+3) は2次式であるから, 求める余りは1次式または定数である。 したが って、余りはax + b (a, b は定数) とおける。 P(x) 商Q(x), (x-2)(x+3), ax+bを 用いて表し, 剰余の定理により α, bの連立方程式を作る。

赤丸で囲ったX＋3とX＋4では次の段でなぜ、X＋1がでてくるのでしょうか？

基本例題 13 (分子の次数) < (分母の次数)にして計算 BORTEL (2) 次の計算をせよ。 (1) x2+4x+5 x2+5x+6 x+3 x+4 Zapy (xXx(x+1)+222) 指針そのまま通分して計算すると、分子の次数が高くなって面倒である。 (1) 解答 x² + 4x + 5_ x² + 5x + 6 ABLAR x+3 x+4 ((2) 1=(x+1+x+3)-(x+1+14) CHART 分数式の取り扱い (分子の次数) (分母の次数)の形に 1 1932 1933 1 (x+3)(x+1)+2 (x+4)(x+1)+2 x+3 x+4 = 2 x+3 (分子A の次数) (分母Bの次数) である分数式は, AをBで割ったときの商 R B Rを用いて, =Q+ 計算がらくになる。 の形に変形すると, 分子の次数が分母の次数より低くなり、 A=BQ+R の両辺をBで割った式 + = x+4 x+4 x+5 x-5 x+2 x+1 x-1 2{(x+4)-(x+3)} (x+3)(x+4) x+2 1 = ² ( x + 2 = x - 2) (x+2)(x-2) - x+ + x-4 x-2 142)-(1+241)-(1-141)+(1-122) 2 x-2 4 + x+1 x-1 2-1²-2₁)-4 (3 2{(x-2)-(x+2)}_4{(x-1)-(x+1)} x+1 x-1 x+4 x+2 = (x+2)(x-2)+(x+1)(x-1) 8{-(x+1)(x-1)+(x+2)(x-2)} (x+2)(x-2)(x+1)(x-1) (x+1)(x-1) 24 (x+2)(x-2)(x+1)(x-1) x-5 *+5=*=5+*=1/ x-1 -XXXX \\/x+3/ x+5 2 (x+3)(x+4) 0000 x-4 x-2 x+1 x+1 x+3)x2+4x+5 x+4) x2+5x+6 x2+3x x2+4x 基本 11 (分子) と余り なぜこうなりの人 次数がともに1なので x+4=(x+2)+2 =8.(-3) x+6 x+4 2 x+5=(x+1)+4 x-5=(x-1)-4 x-4=(x-2)-2 と考える方がらく。 組み合わせを工夫する。 =8{-(x²-1)+(x²-4)} 29

マークしたところがわかりません。なぜ復号同順になるのですか？

例題18 割り算と恒等式 多項式x+x+bが多項式x+ax+1 で割り切れるような定数a, b の値を求めよ. ( 津田塾大 ) 考え方 解答 割り算の基本公式 A=BQ+R は、恒等式であることを利用する. x+x+bの最高次の項に着目して、商をx+cx+d とおくと計算が簡単になる. 商をx²+cx+d とおくと, 条件より, 最高次の項に着目し x+x²+b=(x2+ax+1)(x2+cx+d) ...... ① 1 て,商を x'+cx+d とおく. A=BQ + R で 割り切れるから, R=0 ①の右辺を整理すると、 x+(a+c)x+(ac+d+1)x²+(ad+c)x+d したがって, ① は, x+x²+b =x^+(a+c)x+(ac + d +1)x2+(ad + c)x+d これはxについての恒等式なので,両辺の係数を比較す ると, a+c=0 ...... ② ac+d+1=1 ......③ ad+c=0 ・・・・・・④ 4 d=b .....5 ② より, ④ に代入すると, c=-a ad-a=0 より a (d-1)=0 より, a = 0 または d=1 (i) a=0 のとき,②より. ③.⑤より. (ii) d=1のとき ②,③'より, また、⑤より よって, (i), (ii) より 求める値は, c=0 b=d=0y ③より ac=-1 ... *** E- (a,b)=(0.0). (1,1),(-1,1) ·∙3' a=±1,c=+1 (複号同順) ー= a.(−a)= -1 より, b=d=1 パー a²=1 係数比較法 point 商を文字でおく

この問題の解説をお願いします🙇‍♀️ 因みに答えは a=3 商:x+2 　 です！

2.xの多項式A=x3+ax2+2x+1をx2+x−2で割ると余りが2x+5 と なるように,定数aの値を定めよ。 また, そのときの商を求めよ。

（2）の解説のところで なぜX＝1を代入するという発想になるんですか？ そして、NはAとBとは等しいとはわかりましたが、2以上というのはどうわかるのですか？

92 重要例題 58 剰余の定理の利用 (3) (1) f(x)=x-ax + b が (x-1)2で割り切れるとき、 定数 α, bの値を求 めよ。 [学習院大 を果者2以上の数とするとき、ポート (x-1)で割ったときの余り CHARTI なんで この想に?! OLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 1 次数に注目 (1)(x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)'Q ⇒ f(x)がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 (2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし, α°=1, 6°= 1 である。 X = ² + R²= 1² - Ch-placa² 22 la-b²=(a-b)(a-1+α"-26+α”-362+.... +αb"-2 +6n-1) ②余りには剰余の定理」 m² 3 X al p co b ² + ab + PZ 解答 (1) f(x) は x-1 で割り切れるから よって 1-α+6=0 ゆえに したがって f(x)=x-ax+α-1 両辺に x=1 を代入すると 0=a+b g(1)=0 ゆえに a=3 よって f(1) = 0 =(x-1)(x²+x+1-a) - Jef g(x)=x2+x+1 -α とすると 3-a=0 よって これを①に代入して b=2+ (2) x-1を2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り をax+b とすると、次の等式が成り立つ。 x-1=(x-1)'Q(x)+ax+b1 b=a-1 ゆえに x-1=(x-1)2Q(x)+ab b=-a afx-15 -a 1 ①1 (x) 11 -q+1 =(x-1){(x-1)Q(x)+α} 辺にx=1 を代入すると a=n よって ゆえに したがって 求める余りは nx-n ...... x-1=(x-1)(x-1+xn-2+......+x+1) であるから ⑥x-1+x^2+..+x+1=(x-1)Q(x)+α_ a 1+1+...... +1+1=a b=-a=-n 10 a-1 1 -a+1 0 38-(5)9 条件から,g(x)もx-1 で割り切れる。 割り算の基本公式 A=BQ+R (x-1)²Q(x)+a(x−1) 1482484,39 10 2. dx) x- ← 1=x であるから、左辺 の項数はxからx-1ま での n個 (0.0多購式((tx) 逆賊 P(x) x+3 C 0P(2 / 0921-7 h=α= f PRACTICE・・・･ 58 ④ (1)a,bは定数で,xについての整式x+ax+6は(x+1)^ で割り切れるとする。 このとき, a, bの値を求めよ。 (2) 2以上の自然数とする。x+ax+6が(x-1)2で割り切れるとき (早稲田大) bの値を求めよ。 3 P

（2）Nを2以上とするという条件を表す式は解説の中のどこにあるのですか？ チャートSolutionに書いてるAのN二乗➖BのN二乗というのは高次方程式（三次式以上）を表すから二次式以上を表すことにはならないかなと思ったのですが、、

重要 例題 58 剰余の定理 (1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき,定数a, bの値を EX A めよ。 (2) 2以上の整数とするとき, x"-1 を (x-1)2で割ったときの [ 学習院大 ] を求めよ。 CHARTO SOLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 2② 余りには剰余の定理 (1) 次数に注目 (x-1)2で割り切れるf(x)=(x-1)2Q ⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。 (2)次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし, d=1, 6°=1 である。 a"-6"=(a-b)(a^2+a-26+α-362++ab+b^-1) cata² + ab + 12 2015 -a a-1 B 解答 (1) f(x) は x-1 で割り切れるから よって 1-a+b=0_ ゆえに したがって f(x)=x-ax+α-1 ゆえに g(x)=x2+x+1-a とするとg(1)=0の 3-α=0 a=3 よって ゆえに これを①に代入して b=2 D(S-x)= (2) x1 2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り をax+b とすると,次の等式が成り立つ。 x-1=(x-1)2Q(x)+ax+b 両辺にx=1 を代入すると 0=a+b -²x£=(x)¶_‚$ 11-a+1 =(x−1)(x²+x+1−a) S8 SaS.8—($)%) 条件から,g(x) で割り切れる。 よって = 0 (1) b=a-1… ① afn 15-a x-1=(x-1)^Q(x)+ax xxa =(x-1){(x-1)Q(x)+α} x-1=(x-1)(x-1+x"-2+..+x+1) であるから √x²-¹ + x²-² + 両辺にx=1 を代入すると よって a=n したがって、求める余りは ゆえに + x + 1 = (x=1) Q(x) + a 1+1+ ······ +1+1=a b= nx-n PRACTICE・･・・ 58 ④ (1)a,bは定数で、xについての このとき a=-n 10 h=a= 11-a+1 -b = A=BQ+R -xa-5- 0 割り算の基本公式 (x-1)²Q(x)+ a( 1=xであるから の数はか でのn個 H