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EX
3
(1)(1+x)"(1+x)"=(1+x)" の展開式を利用して,等式 Co+.C?+ +.C?="C。が成り
立つことを証明せよ。
JA
(2) n22のとき, 等式,Ci+2,C2+3,Ca+ +n,C,=n·2"-! が成り立つことを証明せよ。
1章
(3) (2x--)を展開したとき, すべての項の係数の和は口である。
EX
((3) 近畿大)
(1)(1+x)"(1+x)"=,Co(»Co+»Cix+……+,Cax")
+,C」x(,Co+,Cix+…+,Cnx")
=,Co+,Cix+……
+,Cnx"
+,Cnx"(,Co+,Cix+……+,Cnx")
ゆえに,(1+x)"(1+x)" の展開式において,x" の項の係数は、
C=Cx-kにより
Co,Ca+,C」*.Cnー」+…
+,C*»Cn-k+
+,Cn*aCo
一方,(1+x)" の展開式において,x" の項の係数は 2Cn
C+,C?+……+,C,?=z»Cm
そ展開式の一般項は
2nC,x"
したがって
(2) k,C=k
n!
=n*
=nn-1Ck-1
また
ニュ-1Co+カ-1C」+ォー1C2+……+ャ-1Cュー1
そ(a+b)*"の展開式で
a=b=1とおく。
よって,これらのことから
C;+2,C2+3,Cs+……+n,Cn
=n(n-1Co+カ-」C+カ-iCz+……+-1Cm-)
そ,Ci=nn-1C。など。
=n·27-1
(2)を場合の数の考えを利用して解く。
「n人の中から委員を選び(委員は1人以上n人以下とする),による解答は,本冊p.18
委員の中から1人の委員長を選ぶ」場合の数を,次の
[方法1,(方法2]の2通りで求める。
【方法1) まず, n人の中から1人の委員長を選ぶ。その方法は
そのおのおのについて,残りのn-1人には委員になる,ならないの2通りがある
から,求める場合の数は
【方法 2) 委員が1人のとき,委員の選び方は,C. 通り。そのおのおのについて,委
員長の選び方は1通り。
委員が2人のとき,委員の選び方は,C 通り。そのおのおのについて,委員長の
選び方は2通り。
検討
そ(1)の場合の数の考え
図で扱っている。
n通り。
n×2"-1通り
委員がn人のとき,委員の選び方は,Cn 通り。そのおのおのについて,委員長の
選び方はn通り。
よって,求める場合の数は
【方法1]と[方法2] から
C;×1+,C2×2+……+,C×n
Ci+2,C2+3,Ca+……+n,Cn=n·2"-1
(3) 展開式の一般項は C(2x)°(--)=C--2-"(-1)x5-2r | r=0, 1, 2, ……, 5で
あり,各rの値に対して
が成り立つ。
展開式の一般項にx=1を代入すると,C,+25-r.(-1)"となり、
