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2 空間ベクトル
0を原点とする座標空間に, 球面
S:x2+y2+22-4y-8z+11 = 0 と, 点
(3,15)を通り1-12) に平行な
直線 l がある. Sとは異なる2点で交わっ
ている. 以下の問に答えよ.
(1) Sの中心の座標と半径を求めよ.
(2)Slの交点の座標をすべて求めよ.
(3)Sとlの交点のうち, x座標の小さい方
をA, 大きい方をBとする. 点PがS上
を動くとき, 内積 AB・OPの最大値およ
びそのときのPの座標を求めよ.
方針
(3) 球面Sの中心をCとするとき,
OP=OC+CP であることを利用する.
解答
(1)
S:x2+y2+22-4y-8z +11 = 0
は,
S:x2+(y-2)'+(z-4)=9
と変形できるから Sの中心の座標は,
(0, 2, 4)
...
であり,半径は,
3.
(2)
Q
d
(3)
(2土厚2.3±256) (復号同順)
B
A
C•
•P
Sの中心をCとおくと, (1) より C(024).
(2) 結果と, 点 A,Bの定め方より,
A(2-6 2+√6.3-2√6)
B2+2.3+25)
であるから,
AB=OB-OA
よって,
12/56-255
3
=2√6-7.
3
4√6
12
AB. OP=2√6. (OC+CP)
3
2√6 (d.OC+ CP)...3
3
(112) OC024) を
D (3,15)とし、直線l 上の任意の点を Q
とすると,OQは実数を用いて
OQ = OD + DQ
= OD + td
=(3,15)+t(1, -1, 2)
=(3+t, 1-t, 5+2t)
とせるので,
用いると,
7.OC 1.0+(-1)-2+2.4
= 6.
...④
さらに,dとCP のなす角を0(0≦)
とすると,
=√12+(-1)+22=√6.
CP|= (Sの半径)=3
d.CP=dCP cos
=3√6 cose
5
Q(3+t, 1-t, 5+2t).
...2
であるから,④ ⑤を③に代入すると,
さらにQがS上にあるとき ②①に代入
して
AB.OP=
2√6
(3+t)+{(1-t)-2}+{(5+2t)-4}2=9.
これより,
3t2+ 6t+1=0.
t =
==3±√6
3
② より 求める交点の座標は,
3
=4√6 +12cose.
点PはS上をくまなく動くことから, 0は
すべての値をとり得る.
よって、 AB・OPが最大となるのは,
のときであり,最大値は,
(6+3/6 cos 0)
0=0
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