練習
xの関数f(x)=ax+1(0<a<1) に対し, f(x)=f(x),f(x)=f(f(x)),fs(x)=f(f(x)),
100 fn(x)=f(f(x)) [n≧2] とするとき, fn(x) を求めよ。
f(x)=ax+1 から
[HINT チェ (x),チョ(x),......
2(x)=f(f(x))=a(ax+1)+1=ax+a+1と順に求めると,f(x)
f(x)=f(f(x))=a(a'x+a+1)+1=ax+a2+α+1
したがって,自然数nについて(エ)(ロ
①
であると推測できる。これを数学的帰納法で証明する。(
[1] n=1のとき f(x)=ax +1であるから
fn(x)=a*x+a^-1+a" - 2 + ..... +a+1
[2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
f(x)=ax+α+α2+... +α+1 であると仮定すると
fk+1(x)=f(f(x))=af(x)+1
の形が推測できる→
その推測が正しいことを
数学的帰納法で証明。
=ak+1x+a+αk-1 ++α+1 るき
よって, n=k+1 のときも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
したがって
f(x)=a*x+a"-1+a"-2+......+a+1
1-a"
=a"x+
1-a
初項1,公比 a
(a≠1) の等比数列の初
項から第n項までの和。
