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19 2次不等式ある範囲で
2次関数f(x) = 3x2-6kx+2kがある.なお, kは定数とする.
(1) 0<x<3の範囲において, つねに f (x)>0となるkの範囲を求めよ.
(2) 0<x<3の範囲において, つねにf (x) <5となるkの範囲を求めよ.
兵庫医療大, 設問順・形式を変
αを実
(1)
区間の端点での値について注意する
グラフが下に凸である2次関数f(x) について,
(2)
(3)
a<x<bにおいてつねにf(x)>0となる条件を求めてみよう.
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
y=f(x)の取り得る値の範囲は,
軸x=pの位置 (頂点の位置) によって,
1°p≦a のとき,f(a) <y <f (b)
2°a< <bのとき,
1°
2°
(4) J
が存
f(p) ≦y<max{f(a), f(b)}
3°bpのとき,f(b) <y <f(a)
である.
a b x
ap
ほ
P
も
a b
)
なぜ?
したがって,求める条件は,1°のときf(a)≧02°のときf (p)>0,3°のとき (6)≧0となる。
ゴや3°のとき 「≧」になることに注意しよう. 「>」とするミスが多い.
なお, a<x<bでなくて, a≦x≦bにおいてつねに正なら, 値域の不等号くはすべてに変わり。
求める条件の不等号はすべて「>」 となる)
1°のとき,f(a) ≧0ならばf (b) ≧0も成り立つ (3°も同様) ので, 1, 3°をまとめて,の条件は
頂点がa<x<bにあれば頂点のy座標 > 0 なければf (a) ≧0かつ (6) 20
☆
候補の活用 上で述べた結論を8と同様な見方から導いてみよう. f(x) の値域の端っこに現
れる候補は,f(p), f (a), f (b) のいずれかである. f (a), f (b) は上図で白丸であることに注意し
て, となる条件は と分かる. (なお, ymin{α,B} のとき,y>0 α≧0かつ β ≧0 )
f(x) <0なら? a<x<bにおいてつねにf(x) <0となる条件は, y<max {f (a), f (b)}によ
り,f(a)≦0かつ (b) ≧0である.
解答
y=f(x)は下に凸であり, f (x)=3 (z-k)2-3k2+2k
解
h(
(1)
(2
x=
(1) (ア) 0<k<3･･････① のとき,f(k)=-3k²+2k>0 が条件である.
2
よって, k(3k-2) <0であり,①とから, 0<k</
3
(イ) ① 以外のとき, f (0) ≧0 かつ (3) ≧0が条件である.
←頂点が区間内にあるとき,
頂点のy座標 (最小値) > 0
が条件である (前文の2°の場合
←前文に注意.1°か3℃の場合、
27
よって, 2k0 かつ 27-16k ≧0 .. 0≤ k ≤
16
①以外の場合であるから, k=0
(ア)(イ)により, 求めるkの範囲は, 0≦k<-
2
y=5
3
(2)f(0) 5かつf (3) 5が条件である。
前文のf(x) <0
よって, 2k5 かつ 27-16k5
11
5
..
≤ k ≤
8
2
の条件と同様に
考えた.
|y=f(x)
19 演習題(解答はp.62)
0≦x≦1において,不等式 0≦x2+2 (α-2)x+α≦2が成り立つような定数αの値の
範囲を求めよ.
52
(東邦大 医)
最大2,最小となる
範囲を求める.
(3
で
