19 2次不等式ある範囲で
2次関数f(x) = 3x2-6kx+2kがある.なお, kは定数とする.
(1) 0<x<3の範囲において, つねに f (x)>0となるkの範囲を求めよ.
(2) 0<x<3の範囲において, つねにf (x) <5となるkの範囲を求めよ.
兵庫医療大, 設問順・形式を変
αを実
(1)
区間の端点での値について注意する
グラフが下に凸である2次関数f(x) について,
(2)
(3)
a<x<bにおいてつねにf(x)>0となる条件を求めてみよう.
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
y=f(x)の取り得る値の範囲は,
軸x=pの位置 (頂点の位置) によって,
1°p≦a のとき,f(a) <y <f (b)
2°a< <bのとき,
1°
2°
(4) J
が存
f(p) ≦y<max{f(a), f(b)}
3°bpのとき,f(b) <y <f(a)
である.
a b x
ap
ほ
P
も
a b
)
なぜ?
したがって,求める条件は,1°のときf(a)≧02°のときf (p)>0,3°のとき (6)≧0となる。
ゴや3°のとき 「≧」になることに注意しよう. 「>」とするミスが多い.
なお, a<x<bでなくて, a≦x≦bにおいてつねに正なら, 値域の不等号くはすべてに変わり。
求める条件の不等号はすべて「>」 となる)
1°のとき,f(a) ≧0ならばf (b) ≧0も成り立つ (3°も同様) ので, 1, 3°をまとめて,の条件は
頂点がa<x<bにあれば頂点のy座標 > 0 なければf (a) ≧0かつ (6) 20
☆
候補の活用 上で述べた結論を8と同様な見方から導いてみよう. f(x) の値域の端っこに現
れる候補は,f(p), f (a), f (b) のいずれかである. f (a), f (b) は上図で白丸であることに注意し
て, となる条件は と分かる. (なお, ymin{α,B} のとき,y>0 α≧0かつ β ≧0 )
f(x) <0なら? a<x<bにおいてつねにf(x) <0となる条件は, y<max {f (a), f (b)}によ
り,f(a)≦0かつ (b) ≧0である.
解答
y=f(x)は下に凸であり, f (x)=3 (z-k)2-3k2+2k
解
h(
(1)
(2
x=
(1) (ア) 0<k<3･･････① のとき,f(k)=-3k²+2k>0 が条件である.
2
よって, k(3k-2) <0であり,①とから, 0<k</
3
(イ) ① 以外のとき, f (0) ≧0 かつ (3) ≧0が条件である.
←頂点が区間内にあるとき,
頂点のy座標 (最小値) > 0
が条件である (前文の2°の場合
←前文に注意.1°か3℃の場合、
27
よって, 2k0 かつ 27-16k ≧0 .. 0≤ k ≤
16
①以外の場合であるから, k=0
(ア)(イ)により, 求めるkの範囲は, 0≦k<-
2
y=5
3
(2)f(0) 5かつf (3) 5が条件である。
前文のf(x) <0
よって, 2k5 かつ 27-16k5
11
5
..
≤ k ≤
8
2
の条件と同様に
考えた.
|y=f(x)
19 演習題(解答はp.62)
0≦x≦1において,不等式 0≦x2+2 (α-2)x+α≦2が成り立つような定数αの値の
範囲を求めよ.
52
(東邦大 医)
最大2,最小となる
範囲を求める.
(3
で
①以外でまとめるとかありなんですかちゃんと定義域かかなくていいんでしょうか、
また軸のやつイコール含ませたらkが３となりダメなんじゃないでしょうか