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|a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列(an} の一般項を求めよ。
CHART 漸化式 an+1= pa,+(nの1次式)階差数列の利用
指針レp.500 基本例題116 の漸化式 an+1= pantqのqが定数ではなく, nの1次式 となってい
563
大州)
OOOOC
る。
基本116
「解答
dnt1=3an+4n
an+2=3an+1+4(n+1)
an+2-an+1=3(an+1-an)+4
0 とすると
3章
a.
x
15
AOのnにn+1を代入する
とのになる。
0-0から
Cnt1-an=bn とおくと
これを変形すると
bn+1=36n+4
(差を作り,nを消去する。
(b}は{a.} の階差数列。
bn+1+2=3(bn+2)
bi+2=a2-ai+2=7-1+2=8
Aa=3a+4 から α=-2
また
よって、数列{bn+2} は初項8,公比3の等比数列で
ba+2=8·3"-1 すなわち bn=8·3"-1_2 … (*)
Aaz=3a,+4·1=7
n22のとき
におい
ソ=x
n22のとき
n-1
8(3-1-1)
an=ai+ 2(8-3k-1_2)=1+
があると信
=4-37-1-2n-1
4-3°-2-1-1=1
1-1
-2(n-1)
an=a+ Eb。
k=1
3-1
k=1
3
n=1のとき
4=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
x
変ルニ
O 初項は特別扱い 条件
したがって
a,=4·3"-1-2n-1
(*)を導いた後, an+1-an==8·3"-1_2 に① を代入して anを求めてもよい。
民
o
おくと
-4
快討{a,-(an+8)} を等比数列とする解法
アプ 例題は an+1=Dan+(nの1次式)の形をしている。そこで,f(n)=an+8とおき、
0の形に変形できるようにα,
an+1=3an+4n が, an+1一f(n+1)=3{an-f(n)}
Bの値を定める。
のから
=X
ローチ
an+1-{e(n+1)+B}=3{an-(an+B)}
an+1=3a,-2anta-28
Shey G
-2a=4, α-28=0
11 x
-れと an+1=3an+4n の右辺の係数を比較して
よって」
ゆえに
き,点
〒移動
(n)=-2n-1
=-2, B=-1 武ゆえに
a,=4-3"-1-2n-1
したがって
anー(-2n-1)=4·3"-1
練習
117
4=-2
Ca =
と数列機
