-
![]()
-
![]()
重要 例題 99 2次方程式の共通解
2つの2次方程式2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
の
SUND
指針2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができたら、
その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 しかし, 例題の
方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では, 次の解法が一般的である。
2つの方程式の共通解をX=αとおいて,それぞれの方程式に代入すると
TH10L
2a²+ka+4=0
1₁ _a²+a+k=0
(2)
......
......
これをαkについての連立方程式とみて解く。
②から導かれるk=-²-αを①に代入(kを消去)してもよいが,3次方程式となって
数学Iの範囲では解けない。この問題では,最高次の項であるα2 の項を消去することを
考える。 なお、共通の「実数解」 という問題の条件に注意。
CHART 方程式の共通解 共通解を x = α とおく
........
......
基本94
解答
共通解を x=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
2a²+ka+4=0
①, a²+a+k=0
②
① ①② ×2 から (k-2)a+4-2k=0
350
ゆえに
(k-2)(a-2)=0
よって
k=2 または α=2
[1] k=2のとき
2つの方程式はともにx2+x+2=0となり,この方程式の判数学Iの範囲では､
別式をDとすると
[4]
D=12-4・1・2=-7
x=0の解を求める
210-x8
声が
②から
22+2+k=0
よって
k=-6
このとき2つの方程式は 2x²-6x+4=0, x²+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 となり,><
解はそれぞれ x=1,2; x=2, -3
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2をも
α2 の項を消去。 この考え
連立1次方程式を加
減法で解くことに似ている。
D<0であるから, この方程式は実数解をもたない。
{ことはできない。
ゆえに,2つの方程式は共通の実数解をもたない。-+-fp=
[2] α=2のとき
4001
x=2を①に代入してもよ
い。
つ。
以上から
= -6, 共通解はx=2
注意 上の解答では, 共通解 x=αをもつと仮定してαやんの値を求めているから,
求め
た値に対して,実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかどうかを確認
しなければならない。
Pai
