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重要 例題 87 2変数関数の最大・最小 (2)
(1) x,yの関数P=x2+3y2+4x-6y+2の最小値を求めよ。
(2) x,yの関数Q=x²-2xy+2y²-2y+4x+6の最小値を求めよ。
(1),(2) , 最小値をとるときのx,yの値も示せ。
指針 (1) 特に条件が示されていないから, x,yは互いに関係なく値をとる変数である。
このようなときは,次のように考えるとよい。
解答
(1) P=x2+4x+3y²-6y+2
[(1) 類豊橋技科大,(2)類摂南大]
① x,yのうちの一方の文字(ここではyとする) を定数と考えて,Pをまず
2次式とみる。そして,Pを基本形α(x-b'+αに変形。
② 残ったgyの2次式) も, 基本形b(y-r's に変形。
③ P=ax2+by'+s (a>0,6> 0, s は定数) の形。
=(x+2)²-22+3y²-6y+2
= (x+2)² +3(y-1)²-3-1²-2
→PはX=Y=0のとき最小値をとる。
(2) xy の項があるが,方針は(1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-y)*+sの形に変
CHART 条件式のない2変数関数一方の文字を定数とみて処理
00000
=(x+2)^+3(y-12-5
x, y は実数であるから (x+2)² ≥0, (y-1)² ≥0
よって, Pはx+2=0, y-1=0のとき最小となる。
x=-2, y=1のとき最小値-5
ゆえに
(2) Q=x2-2xy+2y²-2y+4x+6
=x2-2(y-2)x+2y²-2y+6
=(x-(y-2)]²-(y-2)²+2y²-2y+6
=(x-y+2)^+y^+2y+2
=(x-y+2)^2+(y+1)-12+2
=(x-y+2)+(y+1)+1
x, y は実数であるから
(x-y+2)^2≧0, (y+1)^≧0
よって,Qはx-y+2=0, y+1=0のとき最小となる。
x-y+2=0, y+1 = 0 を解くと
ゆえに
基本76
x=-3, y=-1のとき最小値1
まず, xについて基本形に
次に、について基本形に
P=ax2+bY2+s の形
(実数) 20
<x+2=0, y-1=0 を解く
と
x=-2, y=1
●x+■の形に。
まず、xについて基本形に
次に,yについて基本形に
◄Q=aX²+by²+s
(実数) 20
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yの
x=-3, y=最小値をとるx, )
の解
