基礎問
246 第9章 整数の性質
147 不定方程式 ax+by=c の解
yを整数とする.
方程式 2.x-3y=7･･････ ① について, 次の問いに答えよ。
(1) ①をみたす (x, y) の1組を見つけよ.
(1)(x,y) を (α, β) とするとき, 2α-3β=7. ② が成り
たつ
①,②を利用して,r-αは3の倍数で,y-βは2の倍数で
あることを示せ.
(3) ①をみたす (x, y) をすべて求めよ.
(4) ①をみたす (x, y) に対して, '-y' の最小値とそのときの
x,yの値を求めよ.
ax+by=c(a,b,cは整数でαと6は互いに素)をみたす (x, y)
を求めるとき,この基礎問の(1)~(3)の手順に従います。
(1)未知数2つ,式1つですから,(x, y) は1つに決まりません。
すなわち,たくさんあるということです. その中から、何でもいいから1組
見つけなさいということです。
(2) x-a や y-β をつくるためには,①-②をつくるしかありません。
(3)x-αは3の倍数だから, x-α=3n (n: 整数)とおけます。
もちろん, (a,β) は (1) で決めた値です.
(4)(3),yを1変数で表しているので,x-y2 もんで表せます.
解答
(1) x=2,y=-1 とすると,
2x-3y=2・2-3・(-1)=7
よって, ①をみたす (x, y) の1組は (2,-1)
このほかにも(x,y)=(5, 1), -1, -3) などがあります.
注
2x-3y=7 …①
(2)
12a-3β=7 ......(2
①-②より,2(x-α)=3(y-β)
