Question

るいぼすてぃ

この問題の(4)で
どうして最小値が－2になるのかわかりません
どなたか解説お願いします💦

基礎問
246 第9章 整数の性質
147 不定方程式 ax+by=c の解
yを整数とする.
方程式 2.x-3y=7･･････ ① について, 次の問いに答えよ。
(1) ①をみたす (x, y) の1組を見つけよ.
(1)(x,y) を (α, β) とするとき, 2α-3β=7. ② が成り
たつ
①,②を利用して,r-αは3の倍数で,y-βは2の倍数で
あることを示せ.
(3) ①をみたす (x, y) をすべて求めよ.
(4) ①をみたす (x, y) に対して, '-y' の最小値とそのときの
x,yの値を求めよ.
ax+by=c(a,b,cは整数でαと6は互いに素)をみたす (x, y)
を求めるとき,この基礎問の(1)~(3)の手順に従います。
(1)未知数2つ,式1つですから,(x, y) は1つに決まりません。
すなわち,たくさんあるということです. その中から、何でもいいから1組
見つけなさいということです。
(2) x-a や y-β をつくるためには,①-②をつくるしかありません。
(3)x-αは3の倍数だから, x-α=3n (n: 整数)とおけます。
もちろん, (a,β) は (1) で決めた値です.
(4)(3),yを1変数で表しているので,x-y2 もんで表せます.
解答
(1) x=2,y=-1 とすると,
2x-3y=2・2-3・(-1)=7
よって, ①をみたす (x, y) の1組は (2,-1)
このほかにも(x,y)=(5, 1), -1, -3) などがあります.
注
2x-3y=7 …①
(2)
12a-3β=7 ......(2
①-②より,2(x-α)=3(y-β)

り
y)
組
るのは
247
ここで,右辺は3の倍数だから, 2(x-α)も3の倍数
2と3は互いに素だから,π-αが3を因数にもつ。
よって, x-αは3の倍数。
同様に,3(y-β) は2の倍数だから, y-βは2の倍数.
S BA
不定方程式を応用して
(3) α=2,β=-1 だから,
(2)より, x-2=3n, y+1=2n (n: 整数) と表せる.
座標に置き入れる。
-2
.. (x,y)=(3n+2, 2n-1) (n: 整数)
(4) 2-y2=(3n+2)2-(2n-1)2
=9n2+12n+4-(4m²-4n+1)
=5n2+16n+3
=5n+
8 \2
49
5
nは整数だから, 右のグラフより
n=2のとき,すなわち,
-9-
-4,-5) のとき,最小値 -9 をとる.
注 (4)は,①を x=- 3y+7 として
2
2.
x²-y² = y²+
5
21
23+
=
#EL
49 — 5 √(y + 21)² - 49
5
から最小値が-40 とするのはまちがいです.それは,y は整数だからです.
5
また,y=-4 と y=-5 のときを両方比べて y=-4 のとき, 最小と考え
るのもまちがいです。 それは, xが整数にならないからです.
ポイント 不定方程式 ax+by=c(a,bは互いに素) をみたす整
演習問題 147
数の組 (x, y) は、この方程式の解の1組 (α, β) をみ
つけて aa+bβ=c をつくり, 定数項 c を消去する
方程式 3.x-4y=5…………① をみたす整数 (x, y) について,|x-y|
の最小値を求めよ.
第9章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

丁寧に解説してあるのだから、
解説の〜〜がわからない、と具体的に指してほしいです

平方完成してグラフが描けたので、
グラフの中で最も低い点の高さが最小値です
ただし、nは整数なので、グラフ全体があるのではなく、
グラフに沿って整数の点がポツポツとある感じです

頂点に近ければ近いほど点は低くなるので、
頂点に一番近い整数を探します
頂点の位置-8/5から最も近いのは-2なので、
n=-2で最小となります

るいぼすてぃ

解説ありがとうございます
理解出来ました！
また、ご指摘頂きありがとうございました
今後このような事が無いよう改善します。