【複素数平面】共役複素数の性質 ⑴別解の赤マーカー部分がわからないです。 『|z+a|^2,|a|^2は共に実数である』ってあるんですがどーゆことですか？

22 基本 例題 79 共役複素数の性質(2) 定数αは複素数とする。共 00000 (1) 任意の複素数zに対して,zz+az + az は実数であることを示せ [(1)岡山大〕 (2) αz が実数でない複素数 z に対して, az-az は純虚数であることを示せ。 CHART & SOLUTION 複素数の実数,純虚数条件 共役複素数を利用 2 が数 p.417 基本事項 3 基本 78 重要 83 zが純数 ただし,z0 (1) w=zz+az+αz とおいて,w=w を示す。 morujo 24 複素数平 るかが 4点 z=a+ である これか 解答 v=az-az とおいて,v=v かつ v0 を示す。 S-01=sS+sal (1) (1)w=zz+az+αz とする。 両辺の共役複素数を考えると ① となる 複素 z=a Z w=zz+az+az Zi ここで (右辺)=zz+az+az=zz+αz+az =zz+az+αz=w 6+01 したがって, w=w であるから, zz+αz+αz は実数であ 共役複素数の性質を利用。 α, β を複素数とすると α+β=a+β, a=α の る。 0=b (別解 (1までは上と同じ) (z+a)(z+α)=zz+az+az+ad から w=(z+a)(z+α)-a =(z+a)(z+α)-α aa =2+a2-a² || を用いた別解。 0=b+5+ 0=b+00 +wo+ (z+α|aはともに実 したがって,zz+az+αz は実数である。野党数である。 v=az-az とする。 αz が実数ではないから よって azaz azaz ゆえに azaz≠0 az 実数 ⇔ az = az すなわち v≠0 v=azaz の両辺の共役複素数を考えるとv=az-az ここで (右辺)=az-az=-az+az=-v したがって, v=v かつ v≠0 であるから, az-azは 純虚数である。 PRACTICE 79 であるから, αz が実数でない ⇔azaz (1) zz=1 のとき, z+ は実数であることを示せ。 2 [類 琉球大〕 2が実数でない複素数zに対して,(Z)は純虚数であることを示せ。 2

数Cの質問です！ [ ]で囲まれているところの計算式を 分かりやすく教えてほしいです！！ よろしくお願いします🙇🏻‍♀️՞

その 基本 例題 13 なす角からベクトルを求める B, ACOR (1) 正の数とし, ベクトル = (1,1) 2.29 基本事項 2 00000] (1) があるとする。い まことのなす角が60°のときの値を求めよ。 [(1) 立教大] (2)=(1,2)=(m,n)(mとnは正の数)について ||=√10 であり, 33 1章 とのなす角は135°である。 このとき,m, nの値を求めよ。 基本12 3 る。 CHART & SOLUTION なす角からベクトルを求める = (a1, a2), = (b1, bz)とする。 内積をat=a||| cose, at=ab+azb2の2通りで表す 内積を2通りの方法で表し, これらを等しいとおいた方程式を解けばよい。 (1) は (2) ではm, nが正の数であることに注意する。 ■ ) を解く 問 解答 0° 1x 60° 1 1x 求めよ と (1)=1×1+1x(-p)=1-p |a|=√12+1?=√2,16|=√12+(-b)=√1+12 ←成分による表現。 a = |a|||cos60°から 1-p=√2√1+x ① 定義による表現。 201 ①の両辺を2乗して整理すると よって p=2±√3 p2-4p+1=0 (1)=1/12(12) ここで,①より, 1p0 であるから 0<p< 1 ゆえに p=2-√√3 整理する 1+0 であるから, ①の右辺は正。 よって, ①の左辺も正であり, 1-p>0 (2)|5|=√10から ||=10 よって m²+n2=10 ...... ① ||=√12+(-2)²=√5 であるから a•6=|a||6|cos 135°=√/5 ×√10×(-1/2)=-5 COS また, a1=1xm+(-2)xn=m-2n であるから m-2n=-5 定義による表現。」 ベクトルの内積 ←成分による表現。 ゆえに m=2n-5..... ② ②①に代入すると (2n-5)2+n2=10 整理すると 5n2-20n+15=0 よって よって n2-4n+3=0 ゆえに n=1,3 ②からn=1のとき m=-3, n=3 のとき m=1 (n-1)(n-3)=0 m, n は正の数であるから PRACTICE 13° ←m=-3<0 から不適。 m=1, n=3 \)\)= 20 (1) OA = (x, 1), OB=(2,1) について, OA, OB のなす角が45°であるとき, xの 値を求めよ。 (2)=(2-1) = (m,n) について,16=2√5であり,ことのなす角は60°で ある。このとき,m, nの値を求めよ。

赤で囲っっている部分が分かりません。 なぜ2分のになるか。どこから2/24lが分かるのか。 教えてください。

133 多面体 基本事項 4 一般の凸多面体 (へこみのない多面体)の頂点の数辺の数 e,面の数 ついて,"e+fの値を考える。例えば、立方体の場合で考えると,この値 はアである。 以下ではe=2:5 かつ f=38であるような凸多面体について考える。 オイラーの多面体定理によりv-e+f=アであることがわかるので, イウ エオである。さらに、この凸多面体はx個の正三角形の面 と個の正方形の面で構成されていて,各頂点に集まる辺の数はすべて同じ lであるとする。 このとき, 3x+4y=カキク であることから x=ケコ で あり,さらにl=サである。 [18 センター試験追試] 数学A

（1）の回答の最後の CG🟰1/9BCの9はどこからきたやつですか？

基本 例題 82 チェバの定理, メネラウスの定理 ( 1 ) 00000 (1) 1辺の長さが7の正三角形ABC がある。 辺AB, AC上にAD=3, AE=6 となるように2点D, E をとる。このとき, 線分 BE と CD の交点をF,直線 AFと辺BCの交点をGとする。 線分 CGの長さを求めよ。 ((2) △ABCにおいて, 辺 AB 上と辺 AC の延長上にそれぞれ点E, F をとり AE:EB=1:2, AF : FC=3:1 とする。 直線 EF と直線BCの交点をDと するとき, BD DC, ED: DF をそれぞれ求めよ。 解答 指針 図をかいて,チェバの定理, メネラウスの定理を適用する。 (13頂点からの直線が1点で交わるなら チェバの定理 (2)三角形と直線1本でメネラウスの定理 (1)AD=3, DB=7-3=4,AE=6,CE=7-6=1 △ABCにおいて, チェバの定理により BG CE AD • =1 GC EA DB BG 1 3 すなわち 1 GC 6 4 BG GC 30 =8から よって BG=8GC CG-BC-17-7 9 9 A 3 E P.465 466 基本事項 1,3 F E B B 7-----GC 222-1 =1 2+1 01 09 467 12 3章 1 チェバの定理、メネラウスの定理

線を引いている①の式が分からないのと、右側にある丸の印を付けている30というのが分かりません、。なんでtan90度ではないんですか？ 解説お願いします🙇‍♀️

226 基本 例 135 測量の問題 00000 | 目の高さが1.5mの人が,平地に立っている木の高さを知るために, 木の前方の |地点Aから測った木の頂点の仰角が30℃, A から木に向かって10m近づいた地 点Bから測った仰角が45°であった。 木の高さを求めよ。 指針 p.222 基本事項 2 基本 133 基本 ① 与えられた値を三角形の辺や角としてとらえて,まず図をかく。そして、 ② 求めるものを文字で表し, 方程式を作る。 特に、直角三角形では,三平方の定理や三角比の利用が有効。 ここでは,目の高さを除いた木の高さを求める方がらく。 基本 例題 1 右の図の△AF に垂線 ADI AD=DC, AI (1) 線分AD (2) sin 75°, fast 点Aから点Pを見るとき, AP と水平面とのなす角を, PがAを通る水平面より上にあるならば仰角といい 下にあるならば俯角という。 ぎょう A 仰角 俯角 三角比 特に, の比を (1)ㄥ 形 き CHART 30° 45° 60°の三角比 (2) -30° 三角定規を思い出す 2 45° √3 (1) △ 60 45% 解答 ZA △A 右の図のように, 木の頂点を D, 木の根元をCとし 解答 目の高さの直線上の点を A', B', C' とする。 h=(10+x)tan 30° このとき, BC=x (m), C'D=h(m) とすると ① h=xtan45 A' 30° B45° ②から 1.5ml x=h これを①に代入して A 10m B xm 10+h h= ゆえに √3 (√3-1)h=10 ①,②はそれぞれ 10 よって h=- √√3-1 10(√3+1) (√3-1) (√3+1) 10(√3+1) tan 45°= =5 (√3+1) 2 したがって、求める木の高さは、目の高さを加えて 5(√3+1)+1.5=5√3+6.5(m)(*) 注意 この例題のような, 測量の問題では, 「小数第2位 を四捨五入せよ」などの指示がある場合は近似値を求 め、指示がない場合は計算の結果を、 そのまま (つま 上の例題では根号がついたまま) 答えとする。 tan 30°= /30° 45% 60°の三角比の 値は覚えておくこと。 (*) 31.73から 5√3=8.65 よって、538.7 とすると 5√3+6.58.7+6.5 =15.2(m) √3 tan 30% h h から ここで x tan45°=1 10+x’ 練習 海面のある場所から崖の上に立つ高さ30mの灯台の先端の仰角がG 135 よ よく L. △ か <カ (2) 練習 ③ 136

この問題の最後の部分の最後の4/3はどうやって出てくるのかいまいち理解できません…分かる方細かい解説をお願いします🙇‍♀️

基本 例題 25 共線条件 00000 |平行四辺形ABCD において, 対角線ACを3:1に内分する点を P, 辺BC を 2:1に内分する点を Qとする。 このとき, 3点D, P, Qは一直線上にあること を証明せよ。 P.45 基本事項 3点 D,P, Q が一直線上にあるDQ=kDPとなる実数んがある t ここで,ベクトルの取り扱いには次の方針がある。 頂点を始点とする2つのベクトルで表す。 4 49 頂点以外の点を始点とする位置ベクトルで考える。 ここでは1の方針でいく。 すなわち, AB=6, AD = dとして,DP, DQ をそれぞれ id で表してみる。 AB=6. AD=dとすると A a D 解答 3 AP=³ AC=³ (6+d). 4 AQ=AB+BQ=6+/30 3 ・3 4 6 AC=AB+BC =b+d P1 B -2- Q1C よってDP=AP-AD TH 3 = (b+à)-à +B(2-1)=00+AD=40 36-d ① 500 4 1章 章 位置ベクトル、ベクトルと図形 DQ=AQ-AD=6+21-1-36-2 3 ①,②から DQ=1/DP (*) したがって, 3点 D, P, Qは一直線上にある。 クト A 4 Q=1.36-7 ② 1DQ=1/3 DQ=kDP の形。 (D=DQでもよい。) 18 D

ベクトルの問題です。 画像の二つの問題でどちらも絶対値の2乗が出てきていると思います。 ですが、2乗の計算の仕方が違うように感じました。なぜ違うのか、など教えていただけると嬉しいです。💦

34 基本 例 15 内積の演算 垂直条件となす角 (1) 等式++一部(+16) を証明せよ。 | (2) ||=2, |6|=1で, â–もと 24 +5 が垂直であるとき, ことのなす角 を求めよ。 p.29 基本事項 基本30 指針 (1) 等式の証明 (数学II) で学んだように, 左辺 (複雑な式) を変形して右辺 (簡単 な式)を導く方針で示す。 その際, を用いて内積の性質 (p.29 基本事項6) を適用すると,la +6 一部の変形は それぞれ (a+b)", (a-b)” を展開する要領で計算できる。 a.b (2)とのなす角0は cos= の値から求められる。 ab (ab) + (2a+5)から (a-b) (2a+56)=0 よって、この等式の左辺を (1) の要領で変形して ||=2, |6|=1 を代入すると、まず 基本 ベクト (1) P (2) (3) の 指 a ・ の値がわかる。 TXAH CHART なす角・垂直 内積を利用 (1) a+b+la-b²=(a+b)·(a+b)+(a−b)·(a−b) (a+b)+(a-b) の計 解 解答 ここでの =aa+a+・+・石) 算と同じ要領。 +(aa-a·b−b•à±b•b) ゆえに =lal²+2a•b+1612 =2(a+1) (2)-(a+5万)から

青いマーカーで囲った図や比通りにやったのですが答えが会いません💦 解答の図だと左に外分した線が伸びているので外分する向きが決まっているのでしょうか？？

364 基本 例題 64 三角形の角の二等分線と比 0000 (1)/AB=3,BC=4, CA=6 である △ABCにおいて, ∠Aの外角の二等分 線が直線 BC と交わる点をDとする。 線分 BD の長さを求めよ。 (2)AB=4,BC=3, CA = 2 である △ABCにおいて, ∠Aおよびその外角 の二等分線が直線BC と交わる点を, それぞれ D, E とする。 線分 DEの 長さを求めよ。 CHART & SOLUTION 三角形の角の二等分線によってできる線分比 線分比)=(三角形の2辺の比) p.361 基本事項 2 基本 △A C 平 B 4 内角の二等分線による線分比 PSAS 外角の二等分線による線分比 右の図で、いずれも → 外分 BP:PC=AB: AC A 各辺の大小関係を,できるだけ正確に図にかいて考える。 (HM-Ma)=H3 B 解答 に入する。 uts HAS CI 外分するか (1)点Dは辺BC を AB AC に外分するから H3 + HA)#CHU+HA) BD:DC=AB:AC (M8+MA)S="A+A AB: AC=1:2であるから BD:DC=1:2 AB:AC=3:6 よって BD=BC=4 D ■BD DC=1:2 から B C BD:BC=1:1 (2)点Dは辺BC を AB AC に内分するから ゆえに BD:DC=AB:AC=2:1 1 ← AB: AC=4:2 合う、または、 DC=- 2+1×BC=1 -XBC=1る。この点をHとすると また,点Eは辺BC を AB AC に外分するから BE: EC=AB:AC 内 =2:1 ゆえに CE=BC=3 よって DE=DC+CE

(１)BDが-4になってしまいます、、 何が違うのでしょうか？？

364 基本 例題 64 三角形の角の二等分線と比 Q000 (1)/AB=3,BC=4, CA=6 である △ABCにおいて、∠Aの 線が直線 BC と交わる点をDとする。 線分 BD の長さを求めよ。 の二等分線が直線 BC と交わる点を, それぞれD, E とする。 線分DEの 長さを求めよ。 CHART & SOLUTION 三角形の角の二等分線によってできる線分比 線分比)=(三角形の2辺の比) p.361 基本事項2 基本 AA と C 平 そ 内角の二等分線による線分比 → 内分 外角の二等分線による線分比・ 右の図で,いずれも → ・外分 BP:PC=AB: AC A 各辺の大小関係をできるだけ正確に図にかいて考える。 (HM-MA)=H B C B 解答 にする。 its HAS CI (1)点Dは辺BC を AB : AC に外分するからH+HK)+(+HA) (*M8+*MA)S="A+A BD: DC=AB: AC AB: AC=1:2であるから BD: DC=1:200 HA AB: AC=3:6 よって BD=BC=4 BD: DC=1:2 から B C BD:BC=1:1 BD:DC=AB:AC=2:1 ABDUCTADA 2+1 D (2)点Dは辺BC を AB AC に内分するから ゆえに DC= -×BC=1る。 この点をHとすると 合う辺、または また,点Eは辺BC を AB AC に外分するから BE: EC=AB: AC =2:1 ゆえに CE=BC=3 よって DE=DC+CF ■AB: AC=4:2

(1)なのですが、これはπ/2 ずらすので1/4周期右に進めれば良いと思うのですが、たとえばπ/3ずらすなどの周期とあまり関係のない数のとき、図はどのように書き始めればよいのでしょうか？？ どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

(1) y=sin (0-2) のグラフは,y=sind の グラフを6軸方向にだけ平行移動したも ので,右図のようになる。 周期は2 YA 0軸方向に (1) 1 π 11-2 0 -1 inf. sin sin (0-1)=-sin (b)=-cos0 であるから, 2 [s] 2 2π π π 2 y=sin(0-1)のグラフはy=-cos0 のグラフと一致する。(p.193 基本事項参照)