複素数の累乗 (2)
発展例題22
基礎例題10
−1+√3 i\n
1-v3i\n
nが負でない整数のとき, (-1/31)+(1/31) を簡単にせよ。
2
2
CHABL
複素数の累乗
& GUIDE
(複素数)” にはド・モアブル
(cosO+isino)"=cosno+isinne
(nは整数)
-1+√3i -1-√3 i
をそれぞれ極形式で表し, 与式を変形する。
2
2
−1+√3 i
=COS
12/23 x + isin 1/27a.
2
-1-3i=cos(12/2x)+isin(-1/3)
2nx
i\n
(-1+√/3i)*=cos 23
=COS
+isin
2
3
(-1-√3)= cos(-2) +isin(-2)
2
2nπ
2nπ
= COS
-isin
3
3
2nπ
ゆえに(-1)+(1-√3)=2
= 2 cos
2
2
よって, mを負でない整数とすると
n=3m のとき
2nπ
2nπ
=2m² すなわち
2 cos
3
3
n=3m+1のとき
2nπ
2
2nπ
=2mx+
π すなわち
2 cos
-=-1)
€50
3
3
3
n=3m+2 のとき
n=3m+2 のとき
a"=q3md2=a2
4
2nπ
2nx
3
=2mx+
2 cos
すなわち
=-1
B"=B3m B2=B2
3
3
a" +B=a²+B²
以上から、nが3の倍数のとき2nが3の倍数でないとき -1
=β+α=-1
n
1+√√ i\n\
1-√
EX 22°nが負でない整数のとき, (Lv32)+(1-231)" を簡単にせよ。
解答
であるから
=2
39
1章
発展学習
-1+√3i -1-3i
と
2
2
は、実軸に関して対称で
あるから 偏角 0は
で考える。 20
cos 1/30, sin 10の周期
はともに3であるから
n=3m, 3m+1, 3m+2
の場合に分ける。
1-1-18
−1+√3 i
参考 α=
2
−1−√3 i
B=
とおく
2
と α, βは1の3乗根
(p.22 参照) であるから
α3=3=1
n=3m のとき
α"=q3m=(α3)"=1=β"
n=3m+1のと
a"=α3ma=a
B"=B3mB=B
a"+β"=α+β=-1
詳しくは
数
