✨ ベストアンサー ✨
基本的に高校数学の解答の書かれ方は無駄なく順序良く書いているので、「そんなのすぐに分からない」とか「自分が解く時に同じように解いていける自信がない」という感情を抱かれてやすいですが、一部の数学のセンスが元から極端にいい人(もしくは努力しまくった人)を除くほとんどの人が同様に感じており、みんな解答には書かれてないことを実際は空いたスペースなどで試して答えの取っ掛かりを探していることを忘れないでください。そういう具体例を試して気付いたことを解答や回答を書く時は無駄なく順序良く書くのでそれだけ読むとあらかじめ答えを知ってる人目線に見え先程の「そんなのすぐに分からない」とか「自分が解く時に同じように解いていける自信がない」という気持ちを抱いてしまいやすいです。
前置きが長くなりましたが赤枠で囲まれた部分の直前に
与式が結局「2cos(2nπ/3)」という結論が出ましたね。
これでも与式よりは簡単になっていると感じますが、「2cos(2nπ/3)」を「2cos{(2π/3)×n}」とイメージすると(2π/3)は有名角(sin、cos、tanの値を覚えさせられる角度)でnは整数なので「2cos{(2π/3)×n}」の値自体もnが決まればまだ計算ができるのが分かりますか？
例えば
n=0のとき
2cos{(2π/3)×n}= 2cos{(2π/3)×0}
= 2cos(0)=2×1=2
n=1のとき
2cos{(2π/3)×n}= 2cos{(2π/3)×1}
= 2cos(2π/3)=2×(-1/2)=-1
n=2のとき
2cos{(2π/3)×n}= 2cos{(2π/3)×2}
= 2cos(4π/3)=2×(-1/2)=-1
n=3のとき
2cos{(2π/3)×n}= 2cos{(2π/3)×3}
= 2cos(2π)=2×1=2
n=4のとき
2cos{(2π/3)×n}= 2cos{(2π/3)×4}
= 2cos(8π/3)=2×(-1/2)=-1
n=5のとき
2cos{(2π/3)×n}= 2cos{(2π/3)×5}
= 2cos(10π/3)=2×(-1/2)=-1
以降法則が分かるまで具体例をn=6、n=7、、、と試す。
そうするとnが3の倍数のときは2、それ以外のときは-1になると気付く。
次に何故そういう結果になったのか具体例をヒントに考える。
単位円を書いて考えると思うので気付きやすいと思うが2π/3つまり120°のn倍は
120°、240°、360°、480°(120°+360°)、600°(240°+360°)、720°(360°+360°)、840°(120°+360°×2)、、、と単位円上では120°、240°、360°(0°と考えてもオッケー)の3箇所にしかなりません。
よってcosの値を考えても120°(+360°×整数)のとき、240℃(+360°×整数)のとき、360°(+360°×整数)のときの3パターンの値しか出てこない。
120°(+360°×整数)となるのは具体例より
n=1、4、7、、、3の倍数＋1のとき
240℃(+360°×整数)となるのは具体例より
n=2、5、8、、、3の倍数＋2のとき
360℃(+360°×整数)となるのは具体例より
n=3、6、9、、、3の倍数のとき
元から数学のセンスがある人(または努力して磨いた人)は2nπ/3 →2π/3×nだから周期が3(120°、240°、360°の繰り返し)だから、3の倍数、3の倍数＋1、3の倍数＋2で場合分けとすぐに考えられますが、現状そこまでにいたってないなら具体例を試してその結果をヒントに考える他ないと思います。
繰り返しになりますが解答や回答では無駄を省くためにあれこれ試行錯誤した過程などは書かれてませんが、書かれてないだけで解法や法則が分からない時は皆さん空いたスペースで具体例をいくつも試してみてそこから解法のヒントを得ている&その過程は基本的に解答には書かれていないし回答にも別に残さない(残していいが回答用紙の限られたスペースをそれで埋めるのはスペースも無駄だし書く時間も無駄なので基本的に書かない)ことを分かって数学の学習に取り組んで欲しいと思います。
ご丁寧にありがとうございます。
やっと理解できました。
実際に自分も「同じように解ける自信がない」と
思っていましたので、少し気が楽になりました。
頑張ります。
ありがとうございました。